Номер 24, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 24, страница 58.

Условие.

6.24. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha$ и $\gamma$ – разные плоскости). Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства используем метод от противного.

Дано:
1. Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $).
2. Плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).
3. Плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ различны ($ \alpha \neq \gamma $).

Доказать:
$ \alpha \parallel \gamma $

Доказательство:
Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ a $. Таким образом, $ \alpha \cap \gamma = a $.

Выберем на прямой $ a $ произвольную точку $ M $. Поскольку прямая $ a $ принадлежит как плоскости $ \alpha $, так и плоскости $ \gamma $, то точка $ M $ также принадлежит обеим этим плоскостям: $ M \in \alpha $ и $ M \in \gamma $.

Из условия нам известно, что $ \alpha \parallel \beta $. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \beta $. То есть, $ M \notin \beta $.

Итак, мы имеем точку $ M $, которая не лежит в плоскости $ \beta $. Через эту точку $ M $ проходят две плоскости: $ \alpha $ и $ \gamma $. По условию задачи, обе эти плоскости параллельны плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $ и $ \gamma \parallel \beta $).

Это противоречит теореме о единственности плоскости, параллельной данной, которая гласит: через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной.

Мы получили, что через точку $ M $ проходят две различные ($ \alpha \neq \gamma $) плоскости, параллельные плоскости $ \beta $. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не могут пересекаться, а значит, они параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.