Номер 29, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 29, страница 58.

Условие.

6.29. На рёбрах AD, CD и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки E, F и K (рис. 6.22). Постройте сечение куба плоскостью EFK.

Рис. 6.22

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения плоскости $EFK$ с плоскостью основания $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно. Оба ребра принадлежат грани $ABCD$. Следовательно, точки $E$ и $F$ лежат в плоскости этой грани. Так как они также принадлежат секущей плоскости $EFK$, то прямая, проходящая через эти точки, является линией пересечения плоскости $EFK$ и плоскости $ABCD$. Отрезок $EF$ — это сторона искомого сечения.

2. Построение линии пересечения плоскости $EFK$ с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$ (метод следов).

Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$, нам нужно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Одна точка нам известна — это точка $K$ на ребре $B_1C_1$.

Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $EF$ (которая лежит в секущей плоскости) с прямой $BC$ (которая лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$). Обе прямые, $EF$ и $BC$, лежат в плоскости основания $ABCD$. Продлим отрезки $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости $EFK$ (так как лежит на продолжении $EF$) и плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как лежит на продолжении $BC$).

Теперь у нас есть две точки $P$ и $K$, которые лежат как в секущей плоскости, так и в плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, прямая $PK$ является линией их пересечения. Эта прямая пересекает ребра куба, принадлежащие грани $BCC_1B_1$. Пусть прямая $PK$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $L$ и ребро $BB_1$ в точке $M$.

3. Построение сторон сечения на гранях $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.

Точки $M$, $K$ и $L$ являются вершинами искомого сечения. Они лежат на ребрах $BB_1$, $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно. Соединяя их, получаем стороны сечения $MK$ и $KL$, лежащие на грани $BCC_1B_1$.

Теперь в плоскости грани $DCC_1D_1$ у нас есть две точки, принадлежащие сечению: точка $F$ на ребре $CD$ и точка $L$ на ребре $CC_1$. Соединив их, получаем сторону сечения $FL$.

4. Построение оставшихся сторон сечения с использованием свойства параллельности граней.

Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $DCC_1D_1$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с гранью $ABB_1A_1$ должна быть параллельна отрезку $FL$. Проведем через точку $M$ на ребре $BB_1$ прямую, параллельную $FL$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — еще одна сторона сечения.

Наконец, соединим точку $N$ на ребре $AA_1$ и точку $E$ на ребре $AD$. Обе точки лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$. Отрезок $NE$ является последней стороной сечения.

Проверка: Грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому линии их пересечения с секущей плоскостью должны быть параллельны. В нашем случае это $EF$ и ломаная $NKLM$ на ребрах верхней части куба. Точнее, можно проверить, что $NE$ будет параллельна $KL$, так как грань $ADD_1A_1$ параллельна $BCC_1B_1$.

В результате последовательного соединения точек получаем искомое сечение.

Итоговый алгоритм построения:

1. Соединить точки $E$ и $F$.
2. Продлить $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$.
3. Провести прямую $PK$. Найти точки ее пересечения с ребрами: $PK \cap BB_1 = M$ и $PK \cap CC_1 = L$.
4. Последовательно соединить точки: $E \to F \to L \to K \to M$.
5. Провести через точку $M$ прямую, параллельную $FL$, до пересечения с ребром $AA_1$ в точке $N$.
6. Соединить $M$ с $N$ и $N$ с $E$.

Искомое сечение — шестиугольник $EFLKMN$.

Ответ: Сечением является шестиугольник $EFLKMN$, вершины которого лежат на ребрах $AD, CD, CC_1, B_1C_1, BB_1, AA_1$ соответственно. Построение описано выше.