Номер 34, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 34, страница 59.

Условие.

6.34. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На отрезке $OC$ отметили точку $M$ так, что $CM : MO = 1 : 2$. Найдите $tg \angle BMO$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $ABCD$ – данный квадрат. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Согласно свойствам квадрата, его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Из перпендикулярности диагоналей ($AC \perp BD$) следует, что $\angle BOC = 90^\circ$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $OC$, то и $\angle BOM = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $BMO$ является прямоугольным, где $BO$ и $MO$ – катеты, а $BM$ – гипотенуза.

2. Из того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следует, что $BO = OC$.

3. По условию, точка $M$ делит отрезок $OC$ в отношении $CM : MO = 1 : 2$. Давайте введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $CM = x$, а $MO = 2x$.

4. Длина всего отрезка $OC$ равна сумме длин его частей: $OC = CM + MO = x + 2x = 3x$.

5. Так как $BO = OC$, то мы можем утверждать, что $BO = 3x$.

6. Теперь найдем тангенс угла $\angle BMO$ в прямоугольном треугольнике $BMO$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\angle BMO$ противолежащим катетом является $BO$, а прилежащим – $MO$.

$\text{tg} \angle BMO = \frac{BO}{MO}$

Подставим найденные значения длин катетов:

$\text{tg} \angle BMO = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.