Номер 30, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 30, страница 59.

Условие.

6.30. На рёбрах $AA_1$, $A_1B_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$, $N$ и $K$ (рис. 6.23). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 6.23

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, необходимо последовательно найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба. Построение можно выполнить, используя метод следов и свойство параллельности граней куба.

Алгоритм построения:

1. Построение первого отрезка сечения.
   Точки $M$ и $N$ принадлежат одной плоскости грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок $MN$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения. Соединяем точки $M$ и $N$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.
   Прямые $MN$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(AA_1B_1B)$ и не параллельны (в общем случае). Найдем точку их пересечения, продлив отрезки $MN$ и $AB$. Обозначим эту точку как $P$. Точка $P$ принадлежит как секущей плоскости (так как лежит на прямой $MN$), так и плоскости основания $(ABC)$ (так как лежит на прямой $AB$). Точка $K$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Прямая $PK$, проходящая через две общие точки плоскостей, является их линией пересечения (следом). Таким образом, прямая $PK$ — это след секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

3. Нахождение сторон сечения на гранях $ABCD$ и $AA_1D_1D$.
   След $PK$ пересекает ребра грани $ABCD$. Он проходит через точку $K$ на ребре $CD$. Найдем точку пересечения прямой $PK$ с ребром $AD$. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $LK$ — это сторона сечения, лежащая на нижней грани $ABCD$.
   Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости левой грани $AA_1D_1D$. Соединив их, получим сторону сечения $LM$.

4. Использование свойства параллельности граней для построения остальных сторон.
   Секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

   • Грани $AA_1B_1B$ (передняя) и $DD_1C_1C$ (задняя) параллельны. Сечение пересекает грань $AA_1B_1B$ по отрезку $MN$. Значит, линия пересечения с гранью $DD_1C_1C$ будет параллельна $MN$. Проведем через точку $K$ (лежащую в плоскости задней грани) прямую, параллельную $MN$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $Q$. Отрезок $KQ$ — еще одна сторона сечения.

   • Грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя) параллельны. Сечение пересекает грань $ABCD$ по отрезку $LK$. Значит, линия пересечения с гранью $A_1B_1C_1D_1$ будет параллельна $LK$. Проведем через точку $N$ (лежащую в плоскости верхней грани) прямую, параллельную $LK$. Она пересечет ребро $B_1C_1$ в точке $R$. Отрезок $NR$ — сторона сечения.

5. Завершение построения.
   Мы получили точки $R$ на ребре $B_1C_1$ и $Q$ на ребре $CC_1$. Обе эти точки принадлежат правой грани $BB_1C_1C$. Соединив их, получаем последнюю сторону сечения — отрезок $RQ$.

В результате последовательного выполнения шагов мы построили замкнутую ломаную $LMNRQK$, все вершины которой лежат на ребрах куба. Эта фигура и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $LMNRQK$.