Номер 27, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 27, страница 58.

Условие.

6.27. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.20). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на ребре $CC_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.20

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения искомого сечения воспользуемся методом следов. Секущая плоскость, которую мы строим (назовем ее $\beta$), должна проходить через точки $E$ и $F$ и быть параллельной прямой $a$.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.
   Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $E$, которая лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Также плоскость $\beta$ по условию параллельна прямой $a$, которая тоже лежит в плоскости $(ABCD)$. Следовательно, линия пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью $(ABCD)$ — это прямая, проходящая через точку $E$ параллельно прямой $a$.
   Проведем в плоскости $(ABCD)$ прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$. Отрезок $EG$ является стороной искомого сечения.
2. Построение следа секущей плоскости на грани $CDD_1C_1$.
   Точка $G$, построенная на предыдущем шаге, лежит на ребре $CD$. Точка $F$ по условию лежит на ребре $CC_1$. Обе точки, $F$ и $G$, принадлежат секущей плоскости $\beta$ и одновременно лежат в плоскости грани $(CDD_1C_1)$. Следовательно, их соединяет отрезок, который является стороной сечения.
   Соединим точки $F$ и $G$. Отрезок $FG$ — вторая сторона сечения.
3. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
   Плоскость верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости основания $(ABCD)$. Так как секущая плоскость $\beta$ пересекает эти две параллельные плоскости, то линии их пересечения будут параллельны. Мы уже знаем, что линия пересечения $\beta$ с плоскостью $(ABCD)$ — это прямая, содержащая отрезок $EG$. Значит, след плоскости $\beta$ на плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ будет прямая, параллельная $EG$.
   Для построения этого следа найдем хотя бы одну точку, принадлежащую одновременно секущей плоскости и плоскости верхней грани. Для этого в плоскости грани $(CDD_1C_1)$ продлим отрезок $FG$ до пересечения с прямой $C_1D_1$. Обозначим точку их пересечения $H$. Точка $H$ принадлежит секущей плоскости $\beta$ (так как лежит на продолжении $FG$) и плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ (так как лежит на прямой $C_1D_1$).
   Теперь в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ проведем через точку $H$ прямую, параллельную $EG$ (и, следовательно, параллельную $a$). Эта прямая является следом секущей плоскости на верхней грани. Она пересекает ребра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ в точках, которые мы обозначим $I$ и $J$ соответственно. Отрезок $IJ$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани.
4. Завершение построения сечения.
   Мы получили вершины многоугольника сечения: $E$ на ребре $AD$, $G$ на ребре $CD$, $F$ на ребре $CC_1$, $J$ на ребре $B_1C_1$ и $I$ на ребре $A_1D_1$. Последовательно соединим эти точки, чтобы получить замкнутый многоугольник.
   • Отрезок $EG$ лежит на грани $(ABCD)$.
   • Отрезок $GF$ лежит на грани $(CDD_1C_1)$.
   • Точки $F$ и $J$ лежат на грани $(BCC_1B_1)$, соединяем их. Отрезок $FJ$ — сторона сечения.
   • Отрезок $JI$ лежит на грани $(A_1B_1C_1D_1)$.
   • Точки $I$ и $E$ лежат на грани $(ADD_1A_1)$, соединяем их. Отрезок $IE$ — последняя сторона сечения.
   Таким образом, искомое сечение — это пятиугольник $EGFJI$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EGFJI$, построенный в соответствии с описанными выше шагами.