Страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.23. Точка $E$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $MABCD$ (рис. 6.19). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.19

6.23. Построение сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$, выполняется в несколько шагов. Пусть искомая секущая плоскость называется $\sigma$.
По определению, плоскость $\sigma$ будет параллельна плоскости $CMD$, если в плоскости $\sigma$ найдутся две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в плоскости $CMD$ (например, $CD$ и $MD$).

Алгоритм построения:

1. Построение следа секущей плоскости на основании. Так как секущая плоскость $\sigma$ параллельна плоскости $CMD$, то линия их пересечения с плоскостью основания $ABCD$ будут параллельны. Линия пересечения плоскости $CMD$ с плоскостью $ABCD$ — это прямая $CD$. Следовательно, след плоскости $\sigma$ на плоскости основания должен быть параллелен $CD$. Проведем в плоскости основания $ABCD$ через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Пусть эта прямая пересекает стороны основания $AD$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — одна из сторон искомого сечения. Таким образом, по построению $PQ \parallel CD$.
2. Построение следа на грани MAD. Секущая плоскость $\sigma$ и плоскость грани $MAD$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $P$. Плоскость $MAD$ пересекает плоскость $CMD$ по прямой $MD$. Так как $\sigma \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с третьей плоскостью ($MAD$) должны быть параллельны. Следовательно, в плоскости грани $MAD$ проведем через точку $P$ прямую, параллельную ребру $MD$. Пусть она пересечет ребро $MA$ в точке $R$. Отрезок $PR$ — вторая сторона сечения. По построению $PR \parallel MD$.
3. Построение следа на грани MBC. Аналогично, плоскость грани $MBC$ пересекает плоскость $CMD$ по прямой $MC$. Так как $\sigma \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $MBC$ должны быть параллельны. Проведем в плоскости грани $MBC$ через точку $Q$ прямую, параллельную ребру $MC$. Пусть она пересечет ребро $MB$ в точке $S$. Отрезок $QS$ — третья сторона сечения. По построению $QS \parallel MC$.
4. Завершение построения. Соединим точки $R$ и $S$, лежащие в плоскости грани $MAB$. Отрезок $RS$ — четвертая сторона сечения.

Четырехугольник $PQSR$ является искомым сечением. Он построен по трем точкам $P$, $Q$, $R$, которые однозначно задают секущую плоскость $\sigma$. Эта плоскость проходит через точку $E$ (поскольку $E$ лежит на $PQ$) и параллельна плоскости $CMD$ (поскольку две пересекающиеся прямые $PQ$ и $PR$ в плоскости $\sigma$ параллельны двум пересекающимся прямым $CD$ и $MD$ в плоскости $CMD$).
Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $PQSR$, построенный в соответствии с приведенным алгоритмом.

6.24. Дано:
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).
Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\beta \parallel \gamma$).
Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ — разные ($\alpha \neq \gamma$).
Доказать:
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha \parallel \gamma$).

Доказательство:
Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны.
По определению, если две плоскости не параллельны, они пересекаются. Так как по условию $\alpha$ и $\gamma$ — разные плоскости, то их пересечением будет некоторая прямая $l$.
$l = \alpha \cap \gamma$.
Возьмем на этой прямой $l$ любую точку $P$. Так как точка $P$ лежит на линии пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $P \in \alpha$ и $P \in \gamma$.
По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек. Поскольку $P \in \alpha$, то точка $P$ не может принадлежать плоскости $\beta$, то есть $P \notin \beta$.
Итак, мы имеем точку $P$, не лежащую в плоскости $\beta$. Через эту точку $P$ проходят две плоскости: $\alpha$ и $\gamma$.
При этом, согласно условию:

• плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$;
• плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\beta$ (так как $\beta \parallel \gamma$ равносильно $\gamma \parallel \beta$).

Получается, что через точку $P$, не принадлежащую плоскости $\beta$, проходят две различные (по условию $\alpha \neq \gamma$) плоскости, обе параллельные плоскости $\beta$.
Это противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной: через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не могут пересекаться. А так как они не совпадают, они должны быть параллельны.
Таким образом, $\alpha \parallel \gamma$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

6.24. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha$ и $\gamma$ – разные плоскости). Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\gamma$ параллельны.

Для доказательства используем метод от противного.

Дано:
1. Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $).
2. Плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).
3. Плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ различны ($ \alpha \neq \gamma $).

Доказать:
$ \alpha \parallel \gamma $

Доказательство:
Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ a $. Таким образом, $ \alpha \cap \gamma = a $.

Выберем на прямой $ a $ произвольную точку $ M $. Поскольку прямая $ a $ принадлежит как плоскости $ \alpha $, так и плоскости $ \gamma $, то точка $ M $ также принадлежит обеим этим плоскостям: $ M \in \alpha $ и $ M \in \gamma $.

Из условия нам известно, что $ \alpha \parallel \beta $. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \beta $. То есть, $ M \notin \beta $.

Итак, мы имеем точку $ M $, которая не лежит в плоскости $ \beta $. Через эту точку $ M $ проходят две плоскости: $ \alpha $ и $ \gamma $. По условию задачи, обе эти плоскости параллельны плоскости $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $ и $ \gamma \parallel \beta $).

Это противоречит теореме о единственности плоскости, параллельной данной, которая гласит: через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной.

Мы получили, что через точку $ M $ проходят две различные ($ \alpha \neq \gamma $) плоскости, параллельные плоскости $ \beta $. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не могут пересекаться, а значит, они параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.25. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такой пары плоскостей и доказательства ее единственности.

Доказательство существования

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то прямая $a$ и построенная прямая $b'$ не параллельны, а пересекаются в точке $M$.

2. Через две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Так как прямая $b'$ также лежит в плоскости $\alpha$ и $b' \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

3. Аналогично, выберем на прямой $b$ произвольную точку $N$. Через точку $N$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $N$.

4. Через пересекающиеся прямые $b$ и $a'$ проходит единственная плоскость $\beta$. По построению, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Так как $a' \subset \beta$ и $a' \parallel a$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

5. Докажем, что построенные плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ определяется пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. По построению имеем $a \parallel a'$ и $b' \parallel b$. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы построили пару параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$, таких, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$. Существование доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей, $\gamma$ и $\delta$, такая, что $a \subset \gamma$, $b \subset \delta$ и $\gamma \parallel \delta$.

1. Так как $a \subset \gamma$ и $\gamma \parallel \delta$, то из этого следует, что прямая $a$ параллельна плоскости $\delta$ ($a \parallel \delta$). Значит, плоскость $\delta$ проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

2. Плоскость, проходящая через данную прямую ($b$) и параллельная другой скрещивающейся с ней прямой ($a$), единственна. Действительно, такая плоскость определяется прямой $b$ и прямой $a'$, проведенной через любую точку прямой $b$ параллельно прямой $a$. Так как через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, то прямая $a'$ определяется однозначно, а значит, и плоскость, содержащая $b$ и $a'$, тоже единственна.

3. Так как плоскость $\delta$ проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$, и построенная нами в первой части плоскость $\beta$ также удовлетворяет этим условиям, то $\delta$ должна совпадать с $\beta$. То есть $\delta = \beta$.

4. Аналогично, так как $b \subset \delta$ и $\gamma \parallel \delta$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\gamma$ ($b \parallel \gamma$). Значит, плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $b$. По той же причине единственности, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\alpha$, построенной в первой части. То есть $\gamma = \alpha$.

5. Таким образом, любая пара параллельных плоскостей, проходящих через данные скрещивающиеся прямые, совпадает с построенной нами парой $(\alpha, \beta)$. Следовательно, такая пара плоскостей единственна.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6.26. Докажите, что если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости $\alpha$ и параллельная плоскости $\beta$, лежит в плоскости $\alpha$.

Дано:
Плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$).
Точка $M$ принадлежит плоскости $α$ ($M \in α$).
Прямая $a$ проходит через точку $M$ ($M \in a$).
Прямая $a$ параллельна плоскости $β$ ($a \parallel β$).

Доказать:
Прямая $a$ лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$.

Поскольку точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $α$, они имеют общую точку $M$. Если прямая не лежит в плоскости, но имеет с ней общую точку, она пересекает эту плоскость в этой единственной точке. Таким образом, из нашего предположения следует, что прямая $a$ пересекает плоскость $α$ только в точке $M$ ($a \cap α = \{M\}$).

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $β$. Согласно теореме стереометрии, через прямую, параллельную некоторой плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную этой плоскости.

Проведем через прямую $a$ такую плоскость и назовем её $γ$. По построению, $a \subset γ$ и $γ \parallel β$.

Так как прямая $a$ проходит через точку $M$, то и содержащая её плоскость $γ$ также проходит через точку $M$. Значит, $γ$ — это плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $β$.

В то же время, по условию задачи, плоскость $α$ также проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $β$.

По теореме о единственности, через точку в пространстве, не лежащую в данной плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной. Это означает, что плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $β$, единственна.

Следовательно, плоскости $α$ и $γ$ должны совпадать: $α = γ$.

Но мы построили плоскость $γ$ так, что она содержит прямую $a$ ($a \subset γ$). Если $α = γ$, то и плоскость $α$ содержит прямую $a$ ($a \subset α$).

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, прямая $a$ лежит в плоскости $α$.

Ответ: Утверждение доказано.

6.27. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.20). На ребре $AD$ отметили точку $E$, на ребре $CC_1$ — точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.20

Для построения искомого сечения воспользуемся методом следов. Секущая плоскость, которую мы строим (назовем ее $\beta$), должна проходить через точки $E$ и $F$ и быть параллельной прямой $a$.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.
   Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $E$, которая лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Также плоскость $\beta$ по условию параллельна прямой $a$, которая тоже лежит в плоскости $(ABCD)$. Следовательно, линия пересечения (след) плоскости $\beta$ с плоскостью $(ABCD)$ — это прямая, проходящая через точку $E$ параллельно прямой $a$.
   Проведем в плоскости $(ABCD)$ прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$. Отрезок $EG$ является стороной искомого сечения.
2. Построение следа секущей плоскости на грани $CDD_1C_1$.
   Точка $G$, построенная на предыдущем шаге, лежит на ребре $CD$. Точка $F$ по условию лежит на ребре $CC_1$. Обе точки, $F$ и $G$, принадлежат секущей плоскости $\beta$ и одновременно лежат в плоскости грани $(CDD_1C_1)$. Следовательно, их соединяет отрезок, который является стороной сечения.
   Соединим точки $F$ и $G$. Отрезок $FG$ — вторая сторона сечения.
3. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
   Плоскость верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости основания $(ABCD)$. Так как секущая плоскость $\beta$ пересекает эти две параллельные плоскости, то линии их пересечения будут параллельны. Мы уже знаем, что линия пересечения $\beta$ с плоскостью $(ABCD)$ — это прямая, содержащая отрезок $EG$. Значит, след плоскости $\beta$ на плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ будет прямая, параллельная $EG$.
   Для построения этого следа найдем хотя бы одну точку, принадлежащую одновременно секущей плоскости и плоскости верхней грани. Для этого в плоскости грани $(CDD_1C_1)$ продлим отрезок $FG$ до пересечения с прямой $C_1D_1$. Обозначим точку их пересечения $H$. Точка $H$ принадлежит секущей плоскости $\beta$ (так как лежит на продолжении $FG$) и плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ (так как лежит на прямой $C_1D_1$).
   Теперь в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ проведем через точку $H$ прямую, параллельную $EG$ (и, следовательно, параллельную $a$). Эта прямая является следом секущей плоскости на верхней грани. Она пересекает ребра $A_1D_1$ и $B_1C_1$ в точках, которые мы обозначим $I$ и $J$ соответственно. Отрезок $IJ$ — это сторона сечения, лежащая на верхней грани.
4. Завершение построения сечения.
   Мы получили вершины многоугольника сечения: $E$ на ребре $AD$, $G$ на ребре $CD$, $F$ на ребре $CC_1$, $J$ на ребре $B_1C_1$ и $I$ на ребре $A_1D_1$. Последовательно соединим эти точки, чтобы получить замкнутый многоугольник.
   • Отрезок $EG$ лежит на грани $(ABCD)$.
   • Отрезок $GF$ лежит на грани $(CDD_1C_1)$.
   • Точки $F$ и $J$ лежат на грани $(BCC_1B_1)$, соединяем их. Отрезок $FJ$ — сторона сечения.
   • Отрезок $JI$ лежит на грани $(A_1B_1C_1D_1)$.
   • Точки $I$ и $E$ лежат на грани $(ADD_1A_1)$, соединяем их. Отрезок $IE$ — последняя сторона сечения.
   Таким образом, искомое сечение — это пятиугольник $EGFJI$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EGFJI$, построенный в соответствии с описанными выше шагами.

6.28. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.21). На ребре $AB$ отметили точку $E$, на ребре $C_1D_1$ – точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.20

Рис. 6.21

Для построения искомого сечения $\beta$ воспользуемся методом следов, а также свойством параллельности граней параллелепипеда. Построение будем выполнять по шагам, последовательно находя вершины многоугольника, являющегося сечением.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

   По условию, секущая плоскость $\beta$ должна быть параллельна прямой $a$, которая лежит в плоскости основания $ABCD$. Также плоскость $\beta$ проходит через точку $E$, которая тоже лежит в плоскости $ABCD$. Если плоскость ($\beta$) проходит через точку ($E$), принадлежащую другой плоскости ($ABCD$), и параллельна некоторой прямой ($a$), лежащей во второй плоскости, то линия их пересечения проходит через эту точку ($E$) и параллельна этой прямой ($a$).

   Следовательно, в плоскости основания $ABCD$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $K$. Отрезок $EK$ является стороной искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости грани $CDD_1C_1$.

   Теперь нам нужно найти линию пересечения плоскости $\beta$ с какой-либо другой гранью. Воспользуемся методом следов. Точка $F$ по условию принадлежит сечению и лежит на ребре $C_1D_1$, то есть в плоскости грани $CDD_1C_1$. Чтобы найти прямую, по которой плоскость $\beta$ пересекает плоскость $(CDD_1C_1)$, нам нужна еще одна точка.

   Найдем точку пересечения прямой $EK$ (которая целиком лежит в плоскости $\beta$) с плоскостью $(CDD_1C_1)$. Прямая $EK$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Линия пересечения плоскостей $(ABCD)$ и $(CDD_1C_1)$ — это прямая $CD$. Следовательно, точка пересечения прямой $EK$ с плоскостью $(CDD_1C_1)$ будет лежать на прямой $CD$. Продлим отрезки $EK$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.

   Точка $P$ принадлежит и плоскости $\beta$ (так как лежит на продолжении $EK$), и плоскости $(CDD_1C_1)$. Точка $F$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Значит, прямая $FP$ является линией пересечения (следом) плоскости $\beta$ на плоскости грани $CDD_1C_1$. Проведем прямую $FP$. Она пересечет ребро $DD_1$ в точке $M$. Отрезок $FM$ — сторона сечения.

3. Построение следа на грани $ADD_1A_1$.

   Мы получили точки $K$ и $M$, принадлежащие сечению. Точка $K$ лежит на ребре $AD$, а точка $M$ — на ребре $DD_1$. Обе эти точки находятся в плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединив их, получим сторону сечения $KM$.

4. Построение сечения с использованием свойства параллельности граней.

   Теперь, имея три стороны сечения ($EK$, $KM$, $MF$), мы можем построить остальные, используя свойство параллельности граней параллелепипеда. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

   а) Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения $\beta$ с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения с нижней гранью, то есть отрезку $EK$. Проведем в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $F$ прямую, параллельную $EK$. Пусть она пересечет ребро $B_1C_1$ в точке $L$. Отрезок $FL$ — сторона сечения.

   б) Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна линии пересечения с гранью $ADD_1A_1$, то есть отрезку $KM$. Проведем в плоскости $(BCC_1B_1)$ через точку $L$ прямую, параллельную $KM$. Пусть она пересечет ребро $BB_1$ в точке $N$. Отрезок $LN$ — сторона сечения.

5. Завершение построения.

   Мы получили точки $N$ на ребре $BB_1$ и $E$ на ребре $AB$. Обе они лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $NE$. Этот отрезок является последней стороной сечения. Заметим, что грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны, поэтому построенный отрезок $NE$ должен быть параллелен отрезку $MF$, что обеспечивает замкнутость и корректность построения.

В результате построений получен шестиугольник $EKMFLN$.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EKMFLN$, построенный согласно приведенному алгоритму.

6.29. На рёбрах AD, CD и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки E, F и K (рис. 6.22). Постройте сечение куба плоскостью EFK.

Рис. 6.22

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение линии пересечения плоскости $EFK$ с плоскостью основания $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $AD$ и $CD$ соответственно. Оба ребра принадлежат грани $ABCD$. Следовательно, точки $E$ и $F$ лежат в плоскости этой грани. Так как они также принадлежат секущей плоскости $EFK$, то прямая, проходящая через эти точки, является линией пересечения плоскости $EFK$ и плоскости $ABCD$. Отрезок $EF$ — это сторона искомого сечения.

2. Построение линии пересечения плоскости $EFK$ с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$ (метод следов).

Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$, нам нужно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям. Одна точка нам известна — это точка $K$ на ребре $B_1C_1$.

Для нахождения второй точки найдем точку пересечения прямой $EF$ (которая лежит в секущей плоскости) с прямой $BC$ (которая лежит в плоскости грани $BCC_1B_1$). Обе прямые, $EF$ и $BC$, лежат в плоскости основания $ABCD$. Продлим отрезки $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости $EFK$ (так как лежит на продолжении $EF$) и плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как лежит на продолжении $BC$).

Теперь у нас есть две точки $P$ и $K$, которые лежат как в секущей плоскости, так и в плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, прямая $PK$ является линией их пересечения. Эта прямая пересекает ребра куба, принадлежащие грани $BCC_1B_1$. Пусть прямая $PK$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $L$ и ребро $BB_1$ в точке $M$.

3. Построение сторон сечения на гранях $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.

Точки $M$, $K$ и $L$ являются вершинами искомого сечения. Они лежат на ребрах $BB_1$, $B_1C_1$ и $CC_1$ соответственно. Соединяя их, получаем стороны сечения $MK$ и $KL$, лежащие на грани $BCC_1B_1$.

Теперь в плоскости грани $DCC_1D_1$ у нас есть две точки, принадлежащие сечению: точка $F$ на ребре $CD$ и точка $L$ на ребре $CC_1$. Соединив их, получаем сторону сечения $FL$.

4. Построение оставшихся сторон сечения с использованием свойства параллельности граней.

Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $DCC_1D_1$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения с гранью $ABB_1A_1$ должна быть параллельна отрезку $FL$. Проведем через точку $M$ на ребре $BB_1$ прямую, параллельную $FL$. Эта прямая пересечет ребро $AA_1$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — еще одна сторона сечения.

Наконец, соединим точку $N$ на ребре $AA_1$ и точку $E$ на ребре $AD$. Обе точки лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$. Отрезок $NE$ является последней стороной сечения.

Проверка: Грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому линии их пересечения с секущей плоскостью должны быть параллельны. В нашем случае это $EF$ и ломаная $NKLM$ на ребрах верхней части куба. Точнее, можно проверить, что $NE$ будет параллельна $KL$, так как грань $ADD_1A_1$ параллельна $BCC_1B_1$.

В результате последовательного соединения точек получаем искомое сечение.

Итоговый алгоритм построения:

1. Соединить точки $E$ и $F$.
2. Продлить $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $P$.
3. Провести прямую $PK$. Найти точки ее пересечения с ребрами: $PK \cap BB_1 = M$ и $PK \cap CC_1 = L$.
4. Последовательно соединить точки: $E \to F \to L \to K \to M$.
5. Провести через точку $M$ прямую, параллельную $FL$, до пересечения с ребром $AA_1$ в точке $N$.
6. Соединить $M$ с $N$ и $N$ с $E$.

Искомое сечение — шестиугольник $EFLKMN$.

Ответ: Сечением является шестиугольник $EFLKMN$, вершины которого лежат на ребрах $AD, CD, CC_1, B_1C_1, BB_1, AA_1$ соответственно. Построение описано выше.