Номер 26, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 26, страница 58.

Условие.

6.26. Докажите, что если плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то любая прямая, проходящая через точку плоскости $\alpha$ и параллельная плоскости $\beta$, лежит в плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано:
Плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$).
Точка $M$ принадлежит плоскости $α$ ($M \in α$).
Прямая $a$ проходит через точку $M$ ($M \in a$).
Прямая $a$ параллельна плоскости $β$ ($a \parallel β$).

Доказать:
Прямая $a$ лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$).

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$.

Поскольку точка $M$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $α$, они имеют общую точку $M$. Если прямая не лежит в плоскости, но имеет с ней общую точку, она пересекает эту плоскость в этой единственной точке. Таким образом, из нашего предположения следует, что прямая $a$ пересекает плоскость $α$ только в точке $M$ ($a \cap α = \{M\}$).

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $β$. Согласно теореме стереометрии, через прямую, параллельную некоторой плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную этой плоскости.

Проведем через прямую $a$ такую плоскость и назовем её $γ$. По построению, $a \subset γ$ и $γ \parallel β$.

Так как прямая $a$ проходит через точку $M$, то и содержащая её плоскость $γ$ также проходит через точку $M$. Значит, $γ$ — это плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $β$.

В то же время, по условию задачи, плоскость $α$ также проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $β$.

По теореме о единственности, через точку в пространстве, не лежащую в данной плоскости, проходит только одна плоскость, параллельная данной. Это означает, что плоскость, проходящая через точку $M$ и параллельная плоскости $β$, единственна.

Следовательно, плоскости $α$ и $γ$ должны совпадать: $α = γ$.

Но мы построили плоскость $γ$ так, что она содержит прямую $a$ ($a \subset γ$). Если $α = γ$, то и плоскость $α$ содержит прямую $a$ ($a \subset α$).

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямая $a$ не лежит в плоскости $α$. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, прямая $a$ лежит в плоскости $α$.

Ответ: Утверждение доказано.