Номер 32, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 32, страница 59.

Условие.

6.32. На ребре $AD$ и диагонали $CA_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что прямая $MN$ параллельна плоскости $BC_1D$. Найдите отношение $CN : NA$, если известно, что $AM : MD = 1 : 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $D(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $C(0, a, 0)$
• $D_1(0, 0, a)$
• $B(a, a, 0)$
• $C_1(0, a, a)$
• $A_1(a, 0, a)$

Точка $M$ лежит на ребре $AD$. По условию, $AM : MD = 1 : 4$. Поскольку длина ребра $AD$ равна $a$, то $MD = \frac{4}{5}a$. Так как точка $M$ лежит на оси $Ox$, ее координаты будут $M(\frac{4}{5}a, 0, 0)$.

Точка $N$ лежит на диагонали $CA_1$. Координаты любой точки на отрезке $CA_1$ можно выразить через параметр $t \in [0, 1]$, где $t = \frac{CN}{CA_1}$. Векторное уравнение для точки $N$ имеет вид $\vec{DN} = \vec{DC} + t \cdot \vec{CA_1}$.

Найдем вектор $\vec{CA_1}$:
$\vec{CA_1} = \vec{A_1} - \vec{C} = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a)$.

Теперь найдем координаты точки $N$:
$\vec{N} = \vec{C} + t \cdot \vec{CA_1} = (0, a, 0) + t(a, -a, a) = (at, a - at, at)$.

По условию, прямая $MN$ параллельна плоскости $BC_1D$. Это означает, что вектор $\vec{MN}$ перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$ к плоскости $BC_1D$.

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BC_1D$. Эта плоскость проходит через точки $D(0, 0, 0)$, $B(a, a, 0)$ и $C_1(0, a, a)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, — это $\vec{DB} = (a, a, 0)$ и $\vec{DC_1} = (0, a, a)$. Вектор нормали можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a^2) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(a^2) = (a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив на $a^2$: $\vec{n} = (1, -1, 1)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (at, a-at, at) - (\frac{4}{5}a, 0, 0) = (at - \frac{4}{5}a, a-at, at)$.

Условие параллельности прямой и плоскости ($\vec{MN} \perp \vec{n}$) выражается через скалярное произведение:

$\vec{MN} \cdot \vec{n} = 0$

$(at - \frac{4}{5}a) \cdot 1 + (a-at) \cdot (-1) + at \cdot 1 = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t$:

$at - \frac{4}{5}a - a + at + at = 0$

$3at - \frac{9}{5}a = 0$

Поскольку $a \neq 0$, разделим обе части на $a$:

$3t - \frac{9}{5} = 0$

$3t = \frac{9}{5}$

$t = \frac{3}{5}$

Мы получили значение параметра $t = \frac{CN}{CA_1} = \frac{3}{5}$. Это означает, что точка $N$ делит отрезок $CA_1$ в отношении $CN : NA_1 = t : (1-t)$.

$CN : NA_1 = \frac{3}{5} : (1-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3:2$.

В условии задачи требуется найти отношение $CN : NA$. Так как точка $N$ лежит на диагонали $CA_1$, а вершина $A$ не лежит на этой прямой, то, вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду отношение $CN : NA_1$. Исходя из этого предположения, мы нашли искомое отношение.

Ответ: $3:2$.