Номер 28, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 28, страница 58.

Условие.

6.28. Прямая $a$ и основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (рис. 6.21). На ребре $AB$ отметили точку $E$, на ребре $C_1D_1$ – точку $F$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой $a$ и проходящей через точки $E$ и $F$.

Рис. 6.20

Рис. 6.21

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения искомого сечения $\beta$ воспользуемся методом следов, а также свойством параллельности граней параллелепипеда. Построение будем выполнять по шагам, последовательно находя вершины многоугольника, являющегося сечением.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

   По условию, секущая плоскость $\beta$ должна быть параллельна прямой $a$, которая лежит в плоскости основания $ABCD$. Также плоскость $\beta$ проходит через точку $E$, которая тоже лежит в плоскости $ABCD$. Если плоскость ($\beta$) проходит через точку ($E$), принадлежащую другой плоскости ($ABCD$), и параллельна некоторой прямой ($a$), лежащей во второй плоскости, то линия их пересечения проходит через эту точку ($E$) и параллельна этой прямой ($a$).

   Следовательно, в плоскости основания $ABCD$ проведем прямую через точку $E$ параллельно прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AD$ в точке $K$. Отрезок $EK$ является стороной искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости грани $CDD_1C_1$.

   Теперь нам нужно найти линию пересечения плоскости $\beta$ с какой-либо другой гранью. Воспользуемся методом следов. Точка $F$ по условию принадлежит сечению и лежит на ребре $C_1D_1$, то есть в плоскости грани $CDD_1C_1$. Чтобы найти прямую, по которой плоскость $\beta$ пересекает плоскость $(CDD_1C_1)$, нам нужна еще одна точка.

   Найдем точку пересечения прямой $EK$ (которая целиком лежит в плоскости $\beta$) с плоскостью $(CDD_1C_1)$. Прямая $EK$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Линия пересечения плоскостей $(ABCD)$ и $(CDD_1C_1)$ — это прямая $CD$. Следовательно, точка пересечения прямой $EK$ с плоскостью $(CDD_1C_1)$ будет лежать на прямой $CD$. Продлим отрезки $EK$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.

   Точка $P$ принадлежит и плоскости $\beta$ (так как лежит на продолжении $EK$), и плоскости $(CDD_1C_1)$. Точка $F$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Значит, прямая $FP$ является линией пересечения (следом) плоскости $\beta$ на плоскости грани $CDD_1C_1$. Проведем прямую $FP$. Она пересечет ребро $DD_1$ в точке $M$. Отрезок $FM$ — сторона сечения.

3. Построение следа на грани $ADD_1A_1$.

   Мы получили точки $K$ и $M$, принадлежащие сечению. Точка $K$ лежит на ребре $AD$, а точка $M$ — на ребре $DD_1$. Обе эти точки находятся в плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединив их, получим сторону сечения $KM$.

4. Построение сечения с использованием свойства параллельности граней.

   Теперь, имея три стороны сечения ($EK$, $KM$, $MF$), мы можем построить остальные, используя свойство параллельности граней параллелепипеда. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым.

   а) Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения $\beta$ с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения с нижней гранью, то есть отрезку $EK$. Проведем в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ через точку $F$ прямую, параллельную $EK$. Пусть она пересечет ребро $B_1C_1$ в точке $L$. Отрезок $FL$ — сторона сечения.

   б) Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна линии пересечения с гранью $ADD_1A_1$, то есть отрезку $KM$. Проведем в плоскости $(BCC_1B_1)$ через точку $L$ прямую, параллельную $KM$. Пусть она пересечет ребро $BB_1$ в точке $N$. Отрезок $LN$ — сторона сечения.

5. Завершение построения.

   Мы получили точки $N$ на ребре $BB_1$ и $E$ на ребре $AB$. Обе они лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $NE$. Этот отрезок является последней стороной сечения. Заметим, что грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны, поэтому построенный отрезок $NE$ должен быть параллелен отрезку $MF$, что обеспечивает замкнутость и корректность построения.

В результате построений получен шестиугольник $EKMFLN$.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EKMFLN$, построенный согласно приведенному алгоритму.