Номер 21, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 21, страница 57.

Условие.

6.21. Точка $E$ принадлежит ребру $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

1. Нахождение первой общей точки.

Рассмотрим плоскость основания куба $ABCD$. Плоскость $ACC_1$ содержит диагональ основания $AC$. Плоскость $BED$ содержит диагональ основания $BD$. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в его центре. Обозначим эту точку пересечения буквой $O$.
Поскольку точка $O$ одновременно лежит на прямой $AC$ (и, следовательно, в плоскости $ACC_1$) и на прямой $BD$ (и, следовательно, в плоскости $BED$), то $O$ является общей точкой этих двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.

Рассмотрим плоскость боковой грани $BB_1C_1C$. Прямая $BE$ целиком лежит в плоскости $BED$. Так как точки $B$ и $E$ (где $E \in B_1C_1$) принадлежат грани $BB_1C_1C$, то прямая $BE$ также лежит в плоскости этой грани.
Плоскость $ACC_1$ содержит ребро $CC_1$, которое также является частью грани $BB_1C_1C$.
Следовательно, прямые $BE$ и $CC_1$ обе лежат в плоскости $BB_1C_1C$. Если точка $E$ не совпадает с вершиной $B_1$, эти прямые не параллельны и, значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $K$.
Поскольку точка $K$ лежит на прямой $BE$, она принадлежит плоскости $BED$. Поскольку точка $K$ лежит на прямой $CC_1$, она принадлежит плоскости $ACC_1$. Таким образом, $K$ является второй общей точкой двух плоскостей.

3. Построение искомой линии.

Мы нашли две общие точки $O$ и $K$ для плоскостей $ACC_1$ и $BED$. Прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.
Алгоритм построения следующий: найти точку $O$ как пересечение диагоналей $AC$ и $BD$; найти точку $K$ как пересечение прямых $BE$ и $CC_1$; провести прямую $OK$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$ является прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания куба, а $K$ — точка пересечения прямых $BE$ и $CC_1$.