Номер 14, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 14, страница 56.

Условие.

6.14. Отрезки $AB$, $CD$ и $EF$, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке $O$, являющейся серединой каждого из этих отрезков. Докажите, что плоскости $ACE$ и $BDF$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства параллельности плоскостей $ (ACE) $ и $ (BDF) $ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $. По условию, точка O является серединой отрезков AB и CD, поэтому $ AO = OB $ и $ CO = OD $. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle AOC \cong \triangle BOD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы $ \angle OAC $ и $ \angle OBD $ (при прямых AC, BD и секущей AB) равны, а значит, прямая AC параллельна прямой BD ($ AC \parallel BD $).

Аналогично рассмотрим треугольники $ \triangle COE $ и $ \triangle DOF $. По условию, точка O является серединой отрезков CD и EF, поэтому $ CO = OD $ и $ EO = OF $. Углы $ \angle COE $ и $ \angle DOF $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle COE \cong \triangle DOF $ по тому же признаку. Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы $ \angle OCE $ и $ \angle ODF $ (при прямых CE, DF и секущей CD) равны, а значит, прямая CE параллельна прямой DF ($ CE \parallel DF $).

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся в точке C прямые AC и CE, лежащие в плоскости $ (ACE) $, которые соответственно параллельны двум пересекающимся в точке D прямым BD и DF, лежащим в плоскости $ (BDF) $. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ (ACE) $ параллельна плоскости $ (BDF) $.

Ответ: Плоскости $ (ACE) $ и $ (BDF) $ параллельны, что и требовалось доказать.