Номер 18, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 18, страница 57.

Условие.

6.18. На рёбрах $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$, а на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$ — точку $N$ (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 6.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $(MNK)$ выполним следующие шаги:

1. Точки $M$ и $K$ принадлежат одной грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MK$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую $MN$. Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$. Прямая $MN$ пересечет ребро $A_1B_1$ в некоторой точке $L$. Отрезок $ML$ – это вторая сторона сечения.
3. Теперь найдем след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$. Для этого продолжим прямую $MN$ до пересечения с продолжением ребра $AB$. Обозначим эту точку пересечения $P$. Точка $P$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $ABCD$.
4. В плоскости основания $ABCD$ у нас теперь есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $K$ (на ребре $AD$) и точка $P$ (на продолжении ребра $AB$). Проведем прямую $PK$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке $Q$. Отрезок $KQ$ – третья сторона сечения.
5. Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, прямая пересечения с верхней гранью должна быть параллельна прямой $KQ$. Проведем через точку $L$ (лежащую на ребре $A_1B_1$) прямую, параллельную $KQ$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в точке $R$. Отрезок $LR$ – четвертая сторона сечения.
6. Осталось соединить точки, лежащие на оставшихся гранях. Точки $Q$ и $R$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединив их, получим отрезок $QR$ – пятую сторону сечения.
7. Все точки $M, L, R, Q, K$ соединены, образуя замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $MKQRL$.