Номер 16, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 16, страница 57.

Условие.

6.16. На ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ (рис. 6.14). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $ACC_1$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения

Пусть секущая плоскость называется $\beta$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ на ребре $AB$ и параллельна плоскости $ACC_1$.
1. Построим линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью основания $ABC$. Так как плоскость $\beta$ параллельна плоскости $ACC_1$, то их линии пересечения с третьей плоскостью (в данном случае $ABC$) также параллельны. Линия пересечения плоскостей $ACC_1$ и $ABC$ — это прямая $AC$. Следовательно, в плоскости $ABC$ проводим через точку $M$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения с ребром $BC$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — одна из сторон сечения.
2. Аналогично, построим линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$. Линия пересечения плоскостей $ACC_1$ и $ABB_1A_1$ — это прямая $AA_1$. Следовательно, в плоскости $ABB_1A_1$ проводим через точку $M$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $A_1B_1$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — вторая сторона сечения.
3. Далее, плоскость $\beta$ пересекает плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой $A_1C_1$ (линии пересечения $ACC_1$ и $A_1B_1C_1D_1$). Проводим в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую через $P$, параллельную $A_1C_1$, до пересечения с ребром $B_1C_1$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ — третья сторона сечения.
4. Соединяем точки $N$ и $Q$ отрезком. Отрезок $NQ$ лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$.
Четырехугольник $MNQP$ является искомым сечением.

Нахождение периметра сечения

Сначала определим вид сечения $MNQP$.
По построению $MN \parallel AC$ и $PQ \parallel A_1C_1$. В кубе диагонали оснований параллельны, то есть $AC \parallel A_1C_1$. Следовательно, $MN \parallel PQ$.
Также по построению $MP \parallel AA_1$. Поскольку плоскость $\beta$ пересекает две параллельные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым $MN$ и $PQ$, и известно, что из подобия треугольников (которое мы докажем ниже) $BN = B_1Q$, то в прямоугольнике $BCC_1B_1$ отрезок $NQ$ параллелен боковым ребрам $BB_1$ и $CC_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то $MP \parallel NQ$.
Поскольку у четырехугольника $MNQP$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.
Ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Так как $MP \parallel AA_1$, то и отрезок $MP$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $MP \perp MN$.
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $MNQP$ — это прямоугольник.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. В нашем случае $P_{MNQP} = 2(MN + MP)$.
Найдем длины сторон $MP$ и $MN$.
Отрезок $MP$ параллелен ребру $AA_1$ и заключен между параллельными плоскостями оснований куба, поэтому его длина равна длине ребра куба: $MP = a$.
Для нахождения длины $MN$ рассмотрим основание куба $ABCD$. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$, значит, $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.
По условию $AM : MB = 1 : 2$, а длина ребра $AB = a$. Отсюда следует, что $MB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a$.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{MB}{AB} = \frac{2a/3}{a} = \frac{2}{3}$.
Длина диагонали основания $AC$ находится по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Из подобия треугольников следует, что $\frac{MN}{AC} = k$, откуда $MN = k \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot a\sqrt{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$.
Теперь мы можем вычислить периметр сечения:
$P = 2(MP + MN) = 2\left(a + \frac{2a\sqrt{2}}{3}\right) = 2a\left(1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.
Ответ: $2a\left(1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.