Номер 9, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 9, страница 56.

Условие.

6.9. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ докажем равенство их соответствующих сторон.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию задачи, через вершины $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$. Это означает, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, то есть $AA_1 || BB_1$.

2. Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют плоскость, в которой лежат все четыре точки $A$, $B$, $B_1$ и $A_1$. Таким образом, четырехугольник $ABB_1A_1$ является плоским.

3. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — в плоскости $\beta$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha || \beta$).

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Плоскость четырехугольника $ABB_1A_1$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Следовательно, $AB || A_1B_1$.

5. В четырехугольнике $ABB_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 || BB_1$ и $AB || A_1B_1$). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.

6. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $AB = A_1B_1$.

7. Аналогично докажем равенство двух других пар сторон. Рассмотрим четырехугольники $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$.

- В четырехугольнике $BCC_1B_1$: $BB_1 || CC_1$ по условию, и $BC || B_1C_1$ как линии пересечения плоскости $BCC_1B_1$ параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $BCC_1B_1$ — параллелограмм, и поэтому $BC = B_1C_1$.

- В четырехугольнике $ACC_1A_1$: $AA_1 || CC_1$ по условию, и $AC || A_1C_1$ как линии пересечения плоскости $ACC_1A_1$ параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $ACC_1A_1$ — параллелограмм, и поэтому $AC = A_1C_1$.

8. Мы показали, что соответствующие стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

9. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как стороны треугольника $ABC$ соответственно равны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$ ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$), то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.