Номер 7, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 7, страница 55.

Условие.

6.7. Верно ли утверждение:

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример.

Пусть две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. В этом случае по определению плоскости $\alpha$ и $\beta$ не являются параллельными.

Теперь рассмотрим третью плоскость $\gamma$, которая параллельна прямой $c$ ($\gamma \parallel c$) и пересекает обе плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$ будет прямая $a$, а с плоскостью $\beta$ — прямая $b$.

Воспользуемся теоремой из стереометрии: если плоскость ($\gamma$) пересекает другую плоскость ($\alpha$), и при этом плоскость $\gamma$ параллельна некоторой прямой $c$, лежащей в плоскости $\alpha$, то линия пересечения плоскостей ($a$) параллельна прямой $c$.

Так как $c \subset \alpha$ и $c \parallel \gamma$, то из теоремы следует, что $a \parallel c$.

Аналогично, так как $c \subset \beta$ и $c \parallel \gamma$, то $b \parallel c$.

Поскольку обе прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $c$, они параллельны между собой: $a \parallel b$.

Таким образом, мы получили ситуацию, когда прямые пересечения ($a$ и $b$) двух плоскостей ($\alpha$ и $\beta$) третьей плоскостью ($\gamma$) параллельны, но сами исходные плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это опровергает исходное утверждение.

Наглядным примером такой ситуации являются две соседние страницы раскрытой книги (плоскости $\alpha$ и $\beta$), которые пересекаются по линии переплета (прямая $c$). Если мы пересечем эти страницы плоскостью ($\gamma$), параллельной переплету, то линии пересечения на страницах ($a$ и $b$) будут параллельны друг другу.

Ответ: утверждение неверно.

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

Данное утверждение верно. Докажем его методом от противного.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. По условию, для любой пары параллельных прямых, пересекающих эти плоскости, отрезки, заключенные между плоскостями, равны по длине.

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Это означает, что они пересекаются по некоторой прямой $c$.

Выберем на линии пересечения $c$ произвольную точку $A_1$. Так как $A_1 \in c$, точка $A_1$ принадлежит обеим плоскостям: $A_1 \in \alpha$ и $A_1 \in \beta$.

Теперь выберем в плоскости $\alpha$ точку $A_2$, которая не лежит на прямой $c$. Это возможно, поскольку $\alpha$ — это плоскость, а не прямая.

Проведем через точки $A_1$ и $A_2$ две параллельные прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$ соответственно ($l_1 \parallel l_2$).

Рассмотрим отрезок прямой $l_1$, заключенный между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Так как $l_1$ проходит через точку $A_1$, которая находится в обеих плоскостях, точка пересечения $l_1$ с $\alpha$ и с $\beta$ совпадает и равна $A_1$. Длина этого отрезка равна нулю.

Рассмотрим отрезок прямой $l_2$, заключенный между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Прямая $l_2$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A_2$. Пусть она пересекает плоскость $\beta$ в точке $B_2$. Длина искомого отрезка равна длине отрезка $A_2B_2$.

Согласно условию задачи, длины этих отрезков должны быть равны: $|A_2B_2| = 0$.

Нулевая длина отрезка означает, что его концы совпадают, то есть $A_2 = B_2$.

Поскольку $A_2 \in \alpha$ и $B_2 \in \beta$, из равенства $A_2 = B_2$ следует, что точка $A_2$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Итак, мы выяснили, что точка $A_2$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, она должна лежать на их линии пересечения $c$.

Это противоречит нашему первоначальному выбору точки $A_2$, которая не лежала на прямой $c$.

Возникшее противоречие доказывает, что наше исходное предположение (о том, что плоскости пересекаются) было неверным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

Ответ: утверждение верно.