Номер 4, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 55.

Условие.

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

Решение 1.

Решение 3.

Свойствами параллельных плоскостей называют утверждения, которые следуют из того, что две плоскости параллельны. Основные свойства выражаются в следующих теоремах.

Свойство 1. О пересечении параллельных плоскостей секущей плоскостью

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $) и третья плоскость $ \gamma $, которая пересекает плоскость $ \alpha $ по прямой $ a $ и плоскость $ \beta $ по прямой $ b $. Прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $. Они не могут пересечься, так как если бы у них была общая точка, то она принадлежала бы обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $, что противоречит условию их параллельности. Поскольку прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \beta $, $ \alpha \cap \gamma = a $, $ \beta \cap \gamma = b $, то $ a \parallel b $.

Свойство 2. Об отрезках параллельных прямых

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Пусть плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Параллельные прямые $ a $ и $ b $ пересекают плоскость $ \alpha $ в точках $ A_1 $ и $ B_1 $, а плоскость $ \beta $ в точках $ A_2 $ и $ B_2 $ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $ A_1B_1B_2A_2 $. Его противоположные стороны $ A_1A_2 $ и $ B_1B_2 $ лежат на параллельных прямых $ a $ и $ b $. Его стороны $ A_1B_1 $ и $ A_2B_2 $ являются линиями пересечения плоскости, проходящей через прямые $ a $ и $ b $, с параллельными плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $. По свойству 1, $ A_1B_1 \parallel A_2B_2 $. Таким образом, $ A_1B_1B_2A_2 $ — параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, $ A_1A_2 = B_1B_2 $.

Ответ: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны по длине.

Свойство 3. О прямой, перпендикулярной к параллельным плоскостям

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Пусть плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $) и прямая $ c $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ c \perp \alpha $). Так как $ c \perp \alpha $, то прямая $ c $ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ \alpha $. Проведем через прямую $ c $ две произвольные плоскости. Они пересекут $ \alpha $ по прямым $ a_1 $ и $ a_2 $, а плоскость $ \beta $ — по прямым $ b_1 $ и $ b_2 $. По свойству 1, $ a_1 \parallel b_1 $ и $ a_2 \parallel b_2 $. Из $ c \perp a_1 $ и $ c \perp a_2 $ следует, что $ c \perp b_1 $ и $ c \perp b_2 $. Поскольку прямая $ c $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ b_1 $ и $ b_2 $) в плоскости $ \beta $, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $ c \perp \beta $.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \beta $ и $ c \perp \alpha $, то $ c \perp \beta $.

Свойство 4. О транзитивности параллельности плоскостей

Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.

Пусть плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $) и плоскость $ \beta $ также параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $). Докажем от противного: предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по некоторой прямой $ c $. Тогда через любую точку на прямой $ c $ проходят две различные плоскости ($ \alpha $ и $ \beta $), параллельные плоскости $ \gamma $. Это противоречит теореме о том, что через точку вне данной плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной. Следовательно, наше предположение неверно, и плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не пересекаются, то есть они параллельны.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \gamma $ и $ \beta \parallel \gamma $, то $ \alpha \parallel \beta $.