Номер 3, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 3, страница 55.

Условие.

6.3. Точки $M$, $N$ и $K$ – середины рёбер $AB$, $AC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что плоскости $MNK$ и $BCD$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольник $ABC$, который является гранью тетраэдра $DABC$. По условию задачи, точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, $MN \parallel BC$.

Теперь рассмотрим грань $ACD$. По условию, точки $N$ и $K$ являются серединами рёбер $AC$ и $AD$. Таким образом, отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ACD$. По тому же свойству, $NK \parallel CD$.

Мы установили, что две прямые $MN$ и $NK$, лежащие в плоскости $(MNK)$ и пересекающиеся в точке $N$, соответственно параллельны двум прямым $BC$ и $CD$, лежащим в плоскости $(BCD)$ и пересекающимся в точке $C$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Так как найденные нами прямые удовлетворяют условиям этого признака ($MN \parallel BC$ и $NK \parallel CD$), мы можем сделать вывод, что плоскость $(MNK)$ параллельна плоскости $(BCD)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность плоскостей $MNK$ и $BCD$ доказана.