Номер 4, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 55.

Условие.

6.4. На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отметили соответственно точки E, F и K так, что $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Докажите, что плоскости EFK и ABC параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства параллельности плоскостей $EFK$ и $ABC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим грань тетраэдра $DAB$, которая представляет собой треугольник. По условию, точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $DA$ и $DB$ соответственно, и выполняется равенство $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$. Рассмотрим треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$. Угол $\angle ADB$ у них общий. Так как стороны, образующие этот угол, пропорциональны ($\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$), то треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Из подобия следует, что соответственные углы равны, в частности $\angle DEF = \angle DAB$. Эти углы являются соответственными при прямых $EF$, $AB$ и секущей $DA$. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $AB$.

Теперь рассмотрим грань тетраэдра $DBC$. Точки $F$ и $K$ лежат на сторонах $DB$ и $DC$ соответственно, и из условия следует, что $\frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Рассматривая треугольники $\triangle DFK$ и $\triangle DBC$, мы видим, что у них общий угол $\angle BDC$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, $\triangle DFK \sim \triangle DBC$ по второму признаку подобия. Из подобия этих треугольников следует параллельность прямых $FK$ и $BC$.

Таким образом, мы имеем:

1. Прямая $EF$ лежит в плоскости $(EFK)$, прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, и $EF \parallel AB$.

2. Прямая $FK$ лежит в плоскости $(EFK)$, прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, и $FK \parallel BC$.

Прямые $EF$ и $FK$ пересекаются в точке $F$ и лежат в плоскости $(EFK)$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $(ABC)$.

Так как две пересекающиеся прямые ($EF$ и $FK$) плоскости $(EFK)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BC$) плоскости $(ABC)$, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(EFK)$ параллельна плоскости $(ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.