Номер 8, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 8, страница 56.

Условие.

6.8. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ – точки $C_1$ и $D_1$, такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $DD_1$ и $C_1D_1$, если $CD = 12$ см, $CC_1 = 4$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$). В плоскости $α$ лежат точки C и D, а в плоскости $β$ — точки $C_1$ и $D_1$. Прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$).

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками $C, D, C_1, D_1$.
Две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $γ$. Все четыре точки $C, D, C_1, D_1$ лежат в этой плоскости $γ$. Таким образом, фигура $CDD_1C_1$ является плоским четырехугольником.

Сторона CD этого четырехугольника лежит в плоскости $α$, а сторона $C_1D_1$ — в плоскости $β$. Так как плоскость $γ$ пересекает две параллельные плоскости $α$ и $β$, то по свойству параллельных плоскостей линии их пересечения (прямые CD и $C_1D_1$) параллельны между собой. То есть, $CD \parallel C_1D_1$.

В четырехугольнике $CDD_1C_1$ мы имеем две пары параллельных противоположных сторон:
1. $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию).
2. $CD \parallel C_1D_1$ (по доказанному свойству).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CDD_1C_1$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны по длине. Отсюда следует:
$DD_1 = CC_1$
$C_1D_1 = CD$

По условию задачи нам известны длины отрезков: $CD = 12$ см и $CC_1 = 4$ см.
Подставляя эти значения, находим искомые длины отрезков:
$DD_1 = CC_1 = 4$ см.
$C_1D_1 = CD = 12$ см.

Ответ: $DD_1 = 4$ см, $C_1D_1 = 12$ см.