Номер 15, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 15, страница 57.

Условие.

6.15. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Плоскость $ACB_1$ задается двумя пересекающимися в точке $C$ прямыми $AC$ и $CB_1$.
Плоскость $A_1C_1D$ задается двумя пересекающимися в точке $A_1$ прямыми $A_1C_1$ и $A_1D$.

Докажем, что $AC \parallel A_1C_1$ и $CB_1 \parallel A_1D$.

1. Параллельность прямых $AC$ и $A_1C_1$.

Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$, а прямая $A_1C_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. В кубе основания являются параллельными квадратами, то есть $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны основаниям, а значит, параллельны друг другу ($AA_1 \parallel CC_1$) и равны по длине ($AA_1 = CC_1$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ACC_1A_1$ — параллелограмм (и даже прямоугольник), а значит, его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ параллельны. Итак, $AC \parallel A_1C_1$.

2. Параллельность прямых $CB_1$ и $A_1D$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$ (как стороны квадрата $ABB_1A_1$), а ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ (как стороны квадрата $ABCD$). По свойству транзитивности параллельных прямых, получаем, что $A_1B_1 \parallel DC$.
Так как все ребра куба равны по длине, то $A_1B_1 = DC$.
Поскольку в четырехугольнике $A_1B_1CD$ две противолежащие стороны ($A_1B_1$ и $DC$) равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, $A_1D \parallel B_1C$.
Прямая $B_1C$ и прямая $CB_1$ — это одна и та же прямая, поэтому $A_1D \parallel CB_1$.

Вывод

Мы показали, что две пересекающиеся прямые $AC$ и $CB_1$ плоскости $(ACB_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A_1C_1$ и $A_1D$ плоскости $(A_1C_1D)$.
Следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $(ACB_1)$ параллельна плоскости $(A_1C_1D)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.