Номер 17, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 17, страница 57.

Условие.

6.17. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.15). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $A_1BC$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.14

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения

Пусть ребро куба равно $a$. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Тогда вершины куба имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Точка $M$ – середина ребра $CC_1$, ее координаты: $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Найдем уравнение плоскости $A_1BC$. Возьмем три точки, принадлежащие ей: $A_1(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax+By+Cz+D=0$. Подставив координаты точек, получим систему:
$\begin{cases} A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot a + D = 0 \\ A \cdot a + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0 \\ A \cdot a + B \cdot a + C \cdot 0 + D = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения: $Ca = -D$. Из второго: $Aa = -D$. Отсюда $A=C$.Из третьего: $Aa + Ba + D = 0 \Rightarrow -D + Ba + D = 0 \Rightarrow Ba=0 \Rightarrow B=0$.Пусть $A=1$, тогда $C=1$, и $D=-a$.Уравнение плоскости $A_1BC$ имеет вид: $x+z-a=0$.

Искомая плоскость сечения проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $A_1BC$. Следовательно, ее уравнение будет иметь вид $x+z+D'=0$. Подставим координаты точки $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$:
$a + \frac{a}{2} + D' = 0 \Rightarrow D' = -\frac{3a}{2}$.
Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+z-\frac{3a}{2}=0$, или $x+z=\frac{3a}{2}$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $CC_1$: $x=a, y=a, 0 \le z \le a$. Подставляем в уравнение: $a+z=\frac{3a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Это точка $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$, что совпадает с условием.
• Ребро $BB_1$: $x=a, y=0, 0 \le z \le a$. Подставляем: $a+z=\frac{3a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Получаем точку $K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$, которая является серединой ребра $BB_1$.
• Ребро $A_1B_1$: $y=0, z=a, 0 \le x \le a$. Подставляем: $x+a=\frac{3a}{2} \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Получаем точку $L\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$.
• Ребро $D_1C_1$: $y=a, z=a, 0 \le x \le a$. Подставляем: $x+a=\frac{3a}{2} \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Получаем точку $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$, которая является серединой ребра $D_1C_1$.

Соединив последовательно точки $M, K, L, N$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $MKLN$.
Ответ: Искомое сечение – это четырехугольник $MKLN$, вершины которого являются серединами ребер $CC_1$, $BB_1$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$ соответственно.

Нахождение периметра

Найдем длины сторон полученного четырехугольника $MKLN$, используя координаты его вершин:
$M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$, $K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$, $L\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$, $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$.
Длина стороны $MK$:
$|MK| = \sqrt{(a-a)^2 + (0-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + 0^2} = a$.
Длина стороны $KL$:
$|KL| = \sqrt{(\frac{a}{2}-a)^2 + (0-0)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Длина стороны $LN$:
$|LN| = \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (a-0)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a$.
Длина стороны $NM$:
$|NM| = \sqrt{(a-\frac{a}{2})^2 + (a-a)^2 + (\frac{a}{2}-a)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Так как $|MK|=|LN|=a$ и $|KL|=|NM|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, то $MKLN$ – параллелограмм. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KL}$:
$\vec{MK} = (0, -a, 0)$
$\vec{KL} = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$
$\vec{MK} \cdot \vec{KL} = 0 \cdot (-\frac{a}{2}) + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot \frac{a}{2} = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами $MK$ и $KL$ прямой. Следовательно, сечение $MKLN$ является прямоугольником.

Периметр прямоугольника $MKLN$ равен:
$P = 2(|MK| + |KL|) = 2(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}) = 2a + a\sqrt{2} = a(2+\sqrt{2})$.
Ответ: $a(2+\sqrt{2})$.