Страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.15. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.

Для доказательства того, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны, воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Плоскость $ACB_1$ задается двумя пересекающимися в точке $C$ прямыми $AC$ и $CB_1$.
Плоскость $A_1C_1D$ задается двумя пересекающимися в точке $A_1$ прямыми $A_1C_1$ и $A_1D$.

Докажем, что $AC \parallel A_1C_1$ и $CB_1 \parallel A_1D$.

1. Параллельность прямых $AC$ и $A_1C_1$.

Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$, а прямая $A_1C_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. В кубе основания являются параллельными квадратами, то есть $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.
Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны основаниям, а значит, параллельны друг другу ($AA_1 \parallel CC_1$) и равны по длине ($AA_1 = CC_1$). Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ACC_1A_1$ — параллелограмм (и даже прямоугольник), а значит, его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ параллельны. Итак, $AC \parallel A_1C_1$.

2. Параллельность прямых $CB_1$ и $A_1D$.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1CD$. В кубе ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$ (как стороны квадрата $ABB_1A_1$), а ребро $AB$ параллельно ребру $DC$ (как стороны квадрата $ABCD$). По свойству транзитивности параллельных прямых, получаем, что $A_1B_1 \parallel DC$.
Так как все ребра куба равны по длине, то $A_1B_1 = DC$.
Поскольку в четырехугольнике $A_1B_1CD$ две противолежащие стороны ($A_1B_1$ и $DC$) равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, $A_1D \parallel B_1C$.
Прямая $B_1C$ и прямая $CB_1$ — это одна и та же прямая, поэтому $A_1D \parallel CB_1$.

Вывод

Мы показали, что две пересекающиеся прямые $AC$ и $CB_1$ плоскости $(ACB_1)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A_1C_1$ и $A_1D$ плоскости $(A_1C_1D)$.
Следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $(ACB_1)$ параллельна плоскости $(A_1C_1D)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны.

6.16. На ребре $AB$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$ (рис. 6.14). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $ACC_1$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.14

Построение сечения

Пусть секущая плоскость называется $\beta$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ на ребре $AB$ и параллельна плоскости $ACC_1$.
1. Построим линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью основания $ABC$. Так как плоскость $\beta$ параллельна плоскости $ACC_1$, то их линии пересечения с третьей плоскостью (в данном случае $ABC$) также параллельны. Линия пересечения плоскостей $ACC_1$ и $ABC$ — это прямая $AC$. Следовательно, в плоскости $ABC$ проводим через точку $M$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения с ребром $BC$ в точке $N$. Отрезок $MN$ — одна из сторон сечения.
2. Аналогично, построим линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$. Линия пересечения плоскостей $ACC_1$ и $ABB_1A_1$ — это прямая $AA_1$. Следовательно, в плоскости $ABB_1A_1$ проводим через точку $M$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $A_1B_1$ в точке $P$. Отрезок $MP$ — вторая сторона сечения.
3. Далее, плоскость $\beta$ пересекает плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной прямой $A_1C_1$ (линии пересечения $ACC_1$ и $A_1B_1C_1D_1$). Проводим в плоскости $A_1B_1C_1D_1$ прямую через $P$, параллельную $A_1C_1$, до пересечения с ребром $B_1C_1$ в точке $Q$. Отрезок $PQ$ — третья сторона сечения.
4. Соединяем точки $N$ и $Q$ отрезком. Отрезок $NQ$ лежит в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$.
Четырехугольник $MNQP$ является искомым сечением.

Нахождение периметра сечения

Сначала определим вид сечения $MNQP$.
По построению $MN \parallel AC$ и $PQ \parallel A_1C_1$. В кубе диагонали оснований параллельны, то есть $AC \parallel A_1C_1$. Следовательно, $MN \parallel PQ$.
Также по построению $MP \parallel AA_1$. Поскольку плоскость $\beta$ пересекает две параллельные грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ по параллельным прямым $MN$ и $PQ$, и известно, что из подобия треугольников (которое мы докажем ниже) $BN = B_1Q$, то в прямоугольнике $BCC_1B_1$ отрезок $NQ$ параллелен боковым ребрам $BB_1$ и $CC_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то $MP \parallel NQ$.
Поскольку у четырехугольника $MNQP$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.
Ребро куба $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Так как $MP \parallel AA_1$, то и отрезок $MP$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$, следовательно, $MP \perp MN$.
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $MNQP$ — это прямоугольник.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. В нашем случае $P_{MNQP} = 2(MN + MP)$.
Найдем длины сторон $MP$ и $MN$.
Отрезок $MP$ параллелен ребру $AA_1$ и заключен между параллельными плоскостями оснований куба, поэтому его длина равна длине ребра куба: $MP = a$.
Для нахождения длины $MN$ рассмотрим основание куба $ABCD$. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$, значит, $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.
По условию $AM : MB = 1 : 2$, а длина ребра $AB = a$. Отсюда следует, что $MB = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a$.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{MB}{AB} = \frac{2a/3}{a} = \frac{2}{3}$.
Длина диагонали основания $AC$ находится по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Из подобия треугольников следует, что $\frac{MN}{AC} = k$, откуда $MN = k \cdot AC = \frac{2}{3} \cdot a\sqrt{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$.
Теперь мы можем вычислить периметр сечения:
$P = 2(MP + MN) = 2\left(a + \frac{2a\sqrt{2}}{3}\right) = 2a\left(1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.
Ответ: $2a\left(1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

6.17. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.15). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной плоскости $A_1BC$. Найдите периметр полученного сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 6.14

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Построение сечения

Пусть ребро куба равно $a$. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Тогда вершины куба имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Точка $M$ – середина ребра $CC_1$, ее координаты: $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Найдем уравнение плоскости $A_1BC$. Возьмем три точки, принадлежащие ей: $A_1(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax+By+Cz+D=0$. Подставив координаты точек, получим систему:
$\begin{cases} A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot a + D = 0 \\ A \cdot a + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0 \\ A \cdot a + B \cdot a + C \cdot 0 + D = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения: $Ca = -D$. Из второго: $Aa = -D$. Отсюда $A=C$.Из третьего: $Aa + Ba + D = 0 \Rightarrow -D + Ba + D = 0 \Rightarrow Ba=0 \Rightarrow B=0$.Пусть $A=1$, тогда $C=1$, и $D=-a$.Уравнение плоскости $A_1BC$ имеет вид: $x+z-a=0$.

Искомая плоскость сечения проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $A_1BC$. Следовательно, ее уравнение будет иметь вид $x+z+D'=0$. Подставим координаты точки $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$:
$a + \frac{a}{2} + D' = 0 \Rightarrow D' = -\frac{3a}{2}$.
Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+z-\frac{3a}{2}=0$, или $x+z=\frac{3a}{2}$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $CC_1$: $x=a, y=a, 0 \le z \le a$. Подставляем в уравнение: $a+z=\frac{3a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Это точка $M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$, что совпадает с условием.
• Ребро $BB_1$: $x=a, y=0, 0 \le z \le a$. Подставляем: $a+z=\frac{3a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Получаем точку $K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$, которая является серединой ребра $BB_1$.
• Ребро $A_1B_1$: $y=0, z=a, 0 \le x \le a$. Подставляем: $x+a=\frac{3a}{2} \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Получаем точку $L\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$.
• Ребро $D_1C_1$: $y=a, z=a, 0 \le x \le a$. Подставляем: $x+a=\frac{3a}{2} \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Получаем точку $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$, которая является серединой ребра $D_1C_1$.

Соединив последовательно точки $M, K, L, N$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $MKLN$.
Ответ: Искомое сечение – это четырехугольник $MKLN$, вершины которого являются серединами ребер $CC_1$, $BB_1$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$ соответственно.

Нахождение периметра

Найдем длины сторон полученного четырехугольника $MKLN$, используя координаты его вершин:
$M\left(a, a, \frac{a}{2}\right)$, $K\left(a, 0, \frac{a}{2}\right)$, $L\left(\frac{a}{2}, 0, a\right)$, $N\left(\frac{a}{2}, a, a\right)$.
Длина стороны $MK$:
$|MK| = \sqrt{(a-a)^2 + (0-a)^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + 0^2} = a$.
Длина стороны $KL$:
$|KL| = \sqrt{(\frac{a}{2}-a)^2 + (0-0)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(-\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Длина стороны $LN$:
$|LN| = \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2 + (a-0)^2 + (a-a)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + 0^2} = a$.
Длина стороны $NM$:
$|NM| = \sqrt{(a-\frac{a}{2})^2 + (a-a)^2 + (\frac{a}{2}-a)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Так как $|MK|=|LN|=a$ и $|KL|=|NM|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, то $MKLN$ – параллелограмм. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KL}$:
$\vec{MK} = (0, -a, 0)$
$\vec{KL} = (-\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$
$\vec{MK} \cdot \vec{KL} = 0 \cdot (-\frac{a}{2}) + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot \frac{a}{2} = 0$.
Так как скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами $MK$ и $KL$ прямой. Следовательно, сечение $MKLN$ является прямоугольником.

Периметр прямоугольника $MKLN$ равен:
$P = 2(|MK| + |KL|) = 2(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}) = 2a + a\sqrt{2} = a(2+\sqrt{2})$.
Ответ: $a(2+\sqrt{2})$.

6.18. На рёбрах $AA_1$ и $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$, а на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$ — точку $N$ (рис. 6.16). Постройте сечение куба плоскостью $MNK$.

Рис. 6.16

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $(MNK)$ выполним следующие шаги:

1. Точки $M$ и $K$ принадлежат одной грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MK$ является одной из сторон искомого сечения.
2. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Проведем прямую $MN$. Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$. Прямая $MN$ пересечет ребро $A_1B_1$ в некоторой точке $L$. Отрезок $ML$ – это вторая сторона сечения.
3. Теперь найдем след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$. Для этого продолжим прямую $MN$ до пересечения с продолжением ребра $AB$. Обозначим эту точку пересечения $P$. Точка $P$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $ABCD$.
4. В плоскости основания $ABCD$ у нас теперь есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $K$ (на ребре $AD$) и точка $P$ (на продолжении ребра $AB$). Проведем прямую $PK$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке $Q$. Отрезок $KQ$ – третья сторона сечения.
5. Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, прямая пересечения с верхней гранью должна быть параллельна прямой $KQ$. Проведем через точку $L$ (лежащую на ребре $A_1B_1$) прямую, параллельную $KQ$. Эта прямая пересечет ребро $D_1C_1$ в точке $R$. Отрезок $LR$ – четвертая сторона сечения.
6. Осталось соединить точки, лежащие на оставшихся гранях. Точки $Q$ и $R$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединив их, получим отрезок $QR$ – пятую сторону сечения.
7. Все точки $M, L, R, Q, K$ соединены, образуя замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник $MKQRL$.

6.19. На рёбрах AB и $A_1D_1$ куба ABCD $A_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки E и F, а на продолжении ребра $B_1C_1$ за точку $C_1$ – точку K (рис. 6.17). Постройте сечение куба плоскостью EFK.

Рис. 6.17

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхней грани.

Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости верхней грани куба $(A_1B_1C_1)$. Проведем через них прямую $FK$. Прямая $FK$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Эта прямая пересекает ребро $C_1D_1$ в некоторой точке, которую назовем $L$. Отрезок $FL$ является стороной искомого сечения, лежащей на верхней грани куба.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости передней грани.

Прямая $FK$ и прямая $A_1B_1$ лежат в одной плоскости $(A_1B_1C_1)$. Найдем точку их пересечения, для этого продлим отрезок $A_1B_1$ за точку $A_1$ до пересечения с прямой $FK$. Назовем эту точку $M$. Точка $M$ принадлежит секущей плоскости $EFK$.

Теперь рассмотрим переднюю грань $(ABB_1)$. Точка $E$ (по условию) и построенная точка $M$ лежат в плоскости этой грани. Проведем через них прямую $ME$. Прямая $ME$ является следом секущей плоскости на плоскости $(ABB_1)$. Прямая $ME$ пересекает ребро $AA_1$ в некоторой точке, которую назовем $P$. Отрезок $EP$ — это сторона сечения, лежащая на передней грани.

3. Построение стороны сечения на левой грани.

Точки $P$ и $F$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости левой грани $(ADD_1)$. Соединим их. Отрезок $PF$ — это сторона сечения, лежащая на левой грани.

4. Построение стороны сечения на задней грани.

Задняя грань $(CDD_1)$ параллельна передней грани $(ABB_1)$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с задней гранью будет параллельна линии ее пересечения с передней гранью, то есть прямой $PE$.

У нас уже есть точка $L$, принадлежащая задней грани. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную $PE$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке, которую назовем $N$. Отрезок $LN$ — это сторона сечения, лежащая на задней грани.

5. Завершение построения сечения.

Точки $N$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости нижней грани $(ABC)$. Соединим их. Отрезок $NE$ — последняя сторона сечения, лежащая на нижней грани.

В результате мы получили замкнутый пятиугольник $PFLNE$. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $PFLNE$.

6.20. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $BDD_1$ и $CC_1M$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Нам даны две плоскости: плоскость диагонального сечения куба $(BDD_1)$ и плоскость $(CC_1M)$.

1. Нахождение первой общей точки.

   Рассмотрим верхнюю грань куба – плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$.

   Плоскости $(BDD_1)$ принадлежит прямая $B_1D_1$, так как точки $B_1$ и $D_1$ лежат в этой плоскости.

   Плоскости $(CC_1M)$ принадлежит прямая $C_1M$, так как точки $C_1$ и $M$ лежат в этой плоскости (по условию $M \in A_1D_1$, значит $M$ лежит в плоскости верхней грани).

   Прямые $B_1D_1$ и $C_1M$ обе лежат в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Они не параллельны (так как $M$ не является точкой $A_1$, в противном случае диагонали квадрата $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекались бы), следовательно, они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $K$.

   $K = C_1M \cap B_1D_1$

   Поскольку точка $K$ лежит на прямой $B_1D_1$, она принадлежит плоскости $(BDD_1)$.

   Поскольку точка $K$ лежит на прямой $C_1M$, она принадлежит плоскости $(CC_1M)$.

   Следовательно, $K$ – первая общая точка двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.

   Рассмотрим нижнюю грань куба – плоскость $(ABCD)$.

   Плоскости $(BDD_1)$ принадлежит прямая $BD$, диагональ основания.

   Теперь найдем след (линию пересечения) плоскости $(CC_1M)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Точка $C$ уже принадлежит этому следу, так как $C \in (CC_1M)$ и $C \in (ABCD)$.

   Чтобы найти вторую точку для построения следа, найдем точку пересечения прямой $CM$ с плоскостью $(BDD_1)$. Это может быть сложно. Вместо этого, воспользуемся другим методом.

   Так как боковые грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ параллельны, то плоскость $(CC_1M)$ не может быть параллельна плоскости $(BDD_1)$.

   Давайте найдем пересечение прямой, лежащей в плоскости $(CC_1M)$, с плоскостью $(ABCD)$. Возьмем прямую $C_1M$. Эта прямая не параллельна плоскости $(ABCD)$, значит, она ее пересекает.

   Чтобы найти точку пересечения прямой $C_1M$ с плоскостью $(ABCD)$, рассмотрим вспомогательную плоскость $(A_1D_1DA)$. Прямая $C_1M$ не лежит в этой плоскости. Продолжим прямую $A_1D_1$ и прямую $B_1C_1$. Их пересечения нет, они параллельны.

   Рассмотрим другой подход. Плоскость $(CC_1M)$ пересекает параллельные плоскости $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$. Линия пересечения с $(BCC_1B_1)$ — это прямая $CC_1$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(ADD_1A_1)$ будет прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $CC_1$. Проведем прямую $MN$ параллельно $CC_1$ (а значит и $AA_1$), где $N$ — точка на ребре $AD$.

   Таким образом, плоскость $(CC_1M)$ — это та же плоскость, что и $(CC_1MN)$.

   Теперь мы можем найти след плоскости $(CC_1MN)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Этот след проходит через точки $C$ и $N$. Это прямая $CN$.

   В плоскости основания $(ABCD)$ лежат две прямые: $BD$ (принадлежит плоскости $(BDD_1)$) и $CN$ (принадлежит плоскости $(CC_1M)$). Эти прямые не параллельны, значит, они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $O$.

   $O = CN \cap BD$

   Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, она принадлежит плоскости $(BDD_1)$.

   Поскольку точка $O$ лежит на прямой $CN$, она принадлежит плоскости $(CC_1M)$.

   Следовательно, $O$ – вторая общая точка двух плоскостей.

3. Построение линии пересечения.

   Мы нашли две общие точки $K$ и $O$ для плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$. Соединив эти две точки, мы получим искомую линию пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения – это прямая $KO$, где $K$ – точка пересечения прямых $C_1M$ и $B_1D_1$ в плоскости верхней грани, а $O$ – точка пересечения прямых $CN$ и $BD$ в плоскости нижней грани, причем $N$ – такая точка на ребре $AD$, что $MN \parallel CC_1$.

6.21. Точка $E$ принадлежит ребру $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$.

1. Нахождение первой общей точки.

Рассмотрим плоскость основания куба $ABCD$. Плоскость $ACC_1$ содержит диагональ основания $AC$. Плоскость $BED$ содержит диагональ основания $BD$. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в его центре. Обозначим эту точку пересечения буквой $O$.
Поскольку точка $O$ одновременно лежит на прямой $AC$ (и, следовательно, в плоскости $ACC_1$) и на прямой $BD$ (и, следовательно, в плоскости $BED$), то $O$ является общей точкой этих двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.

Рассмотрим плоскость боковой грани $BB_1C_1C$. Прямая $BE$ целиком лежит в плоскости $BED$. Так как точки $B$ и $E$ (где $E \in B_1C_1$) принадлежат грани $BB_1C_1C$, то прямая $BE$ также лежит в плоскости этой грани.
Плоскость $ACC_1$ содержит ребро $CC_1$, которое также является частью грани $BB_1C_1C$.
Следовательно, прямые $BE$ и $CC_1$ обе лежат в плоскости $BB_1C_1C$. Если точка $E$ не совпадает с вершиной $B_1$, эти прямые не параллельны и, значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $K$.
Поскольку точка $K$ лежит на прямой $BE$, она принадлежит плоскости $BED$. Поскольку точка $K$ лежит на прямой $CC_1$, она принадлежит плоскости $ACC_1$. Таким образом, $K$ является второй общей точкой двух плоскостей.

3. Построение искомой линии.

Мы нашли две общие точки $O$ и $K$ для плоскостей $ACC_1$ и $BED$. Прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.
Алгоритм построения следующий: найти точку $O$ как пересечение диагоналей $AC$ и $BD$; найти точку $K$ как пересечение прямых $BE$ и $CC_1$; провести прямую $OK$.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ACC_1$ и $BED$ является прямая $OK$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания куба, а $K$ — точка пересечения прямых $BE$ и $CC_1$.

6.22. Точка $K$ принадлежит грани $BCD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 6.18). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $ABD$.

Построение сечения:

Требуется построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью $\Pi$, проходящей через точку $K$ и параллельной плоскости $ABD$.

По свойству параллельных плоскостей, если плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$, то линии пересечения плоскости $\Pi$ с гранями тетраэдра, содержащими стороны плоскости $ABD$, будут параллельны соответствующим сторонам.

1. Построение первой стороны сечения (в грани $BCD$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $BCD$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $BD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $BCD$ должна быть параллельна $BD$.
Через точку $K$, лежащую в грани $BCD$, проведем прямую, параллельную ребру $BD$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $M$ и ребро $CD$ в точке $L$.
Отрезок $ML$ — первая сторона искомого сечения.

2. Построение второй стороны сечения (в грани $ABC$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $ABC$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AB$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $ABC$ должна быть параллельна $AB$.
Через точку $M$ (которая принадлежит грани $ABC$) проведем прямую, параллельную ребру $AB$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в точке $N$.
Отрезок $MN$ — вторая сторона искомого сечения.

3. Построение третьей стороны сечения (в грани $ACD$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $ACD$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AD$.
Через точку $L$ (которая принадлежит грани $ACD$) проведем прямую, параллельную ребру $AD$. Эта прямая должна пересечь ребро $AC$ в точке $N'$ (которая, по определению плоскости сечения, должна совпадать с уже найденной точкой $N$).
Отрезок $LN$ — третья сторона искомого сечения.

Таким образом, построенное сечение является треугольником $LMN$.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $LMN$, где $M$ лежит на $BC$, $L$ на $CD$, $N$ на $AC$, причем $ML \parallel BD$, $MN \parallel AB$, $LN \parallel AD$.