Страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.38. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $AA_1C_1C$, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.26). Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 5.26

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $M, N, K$, используется метод следов. Метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания призмы $(ABC)$. Затем, используя этот след, последовательно находятся точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, которые и будут являться вершинами искомого сечения.

След — это прямая пересечения плоскости $(MNK)$ и плоскости $(ABC)$. Для построения прямой необходимо найти две принадлежащие ей точки.

1. Спроектируем точки $M$, $N$ и $K$ на плоскость основания $(ABC)$ параллельно боковым ребрам (например, параллельно ребру $AA_1$). Обозначим проекции как $M'$, $N'$ и $K'$ соответственно. Поскольку точка $M$ лежит на грани $AA_1C_1C$, ее проекция $M'$ будет лежать на прямой $AC$. Аналогично, $N' \in AB$ и $K' \in BC$.
2. Рассмотрим прямые $MN$ и $M'N'$. Эти две прямые лежат в одной вспомогательной плоскости (проходящей через параллельные прямые $MM'$ и $NN'$), поэтому они пересекаются (или параллельны). Найдем точку их пересечения $P_1 = MN \cap M'N'$. Точка $P_1$ принадлежит прямой $MN$, а значит, и секущей плоскости $(MNK)$. Также точка $P_1$ принадлежит прямой $M'N'$, а значит, и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $P_1$ — это общая точка двух плоскостей, то есть точка на их линии пересечения.
3. Аналогично рассмотрим прямые $NK$ и $N'K'$. Они лежат в одной плоскости (проходящей через параллельные прямые $NN'$ и $KK'$). Найдем точку их пересечения $P_2 = NK \cap N'K'$. Точка $P_2$ также принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$.
4. Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$. Обозначим эту прямую $l$.

Ответ: Построена прямая $l = P_1P_2$ — след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

Вершины искомого сечения — это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра призмы. Для их нахождения будем последовательно строить линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Начнем с грани $BB_1C_1C$. Секущая плоскость пересекает эту грань по прямой. Одна точка этой прямой нам известна — это точка $K$. Другую точку найдем, используя след $l$. Прямая $BC$ лежит и в плоскости основания, и в плоскости грани $BB_1C_1C$. Поэтому точка пересечения следа $l$ с прямой $BC$ будет принадлежать искомой линии сечения на грани. Обозначим $T_1 = l \cap BC$.
2. Проводим в плоскости грани $BB_1C_1C$ прямую через точки $K$ и $T_1$. Эта прямая пересекает ребра призмы, принадлежащие этой грани. Пусть $S_1 = KT_1 \cap BB_1$ и $S_2 = KT_1 \cap CC_1$. Точки $S_1$ и $S_2$ являются вершинами искомого сечения.
3. Перейдем к смежной грани $AA_1B_1B$. На этой грани лежит заданная точка $N$ и уже найденная вершина сечения $S_1$ (так как $S_1 \in BB_1$). Прямая, проходящая через точки $N$ и $S_1$, является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.
4. Найдем точку пересечения прямой $NS_1$ с ребром $AA_1$. Обозначим эту точку $S_3 = NS_1 \cap AA_1$. Точка $S_3$ — еще одна вершина сечения.
5. Для проверки правильности построений можно рассмотреть грань $AA_1C_1C$. На ней лежат точка $M$, а также найденные вершины $S_2$ (на $CC_1$) и $S_3$ (на $AA_1$). Все эти три точки должны лежать на одной прямой, так как все они принадлежат пересечению плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(AA_1C_1C)$.

Ответ: Построены вершины сечения $S_1$, $S_2$, $S_3$, лежащие на боковых ребрах $BB_1$, $CC_1$ и $AA_1$ соответственно.

Соединив последовательно найденные вершины, мы получим многоугольник, который является искомым сечением призмы.

1. Соединяем отрезком точки $S_1$ и $S_2$. Этот отрезок лежит в грани $BB_1C_1C$.
2. Соединяем отрезком точки $S_2$ и $S_3$. Этот отрезок лежит в грани $AA_1C_1C$.
3. Соединяем отрезком точки $S_3$ и $S_1$. Этот отрезок лежит в грани $AA_1B_1B$.

В результате построения получается треугольник $S_1S_2S_3$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы плоскостью $MNK$. В зависимости от конкретного расположения исходных точек $M, N, K$, сечение может также оказаться четырехугольником или пятиугольником, если секущая плоскость пересечет ребра оснований призмы. Описанный алгоритм является общим и позволяет построить сечение в любом из этих случаев.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости $(MNK)$ с ребрами призмы (в рассмотренном примере — треугольник $S_1S_2S_3$).

5.39. Основанием пирамиды SABCDE является пятиугольник ABCDE. На рёбрах SE и SD отметили соответственно точки M и N (рис. 5.27). Известно, что $SM/SE = SN/SD$. Постройте сечение пирамиды плоскостью BMN.

Рис. 5.26

Рис. 5.27

Для построения сечения пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точки B, M и N, необходимо выполнить следующие рассуждения и построения.

Анализ условия и установление параллельности
Рассмотрим треугольник SDE. По условию, на его сторонах SE и SD лежат точки M и N соответственно, причем выполняется соотношение $ \frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD} $. Это означает, что точки M и N делят боковые ребра SE и SD в одинаковом отношении, считая от вершины S. Согласно обратной теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), прямая, соединяющая точки M и N, параллельна основанию DE этого треугольника. Таким образом, $MN \parallel DE$.

Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания
Прямая DE принадлежит плоскости основания пирамиды (ABCDE). Поскольку прямая MN, лежащая в секущей плоскости (BMN), параллельна прямой DE, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая MN параллельна плоскости основания (ABCDE).
Секущая плоскость (BMN) проходит через прямую MN, параллельную плоскости основания, и пересекает плоскость основания. Следовательно, линия их пересечения должна быть параллельна прямой MN, а значит и прямой DE.
Точка B принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости основания, значит, она лежит на линии их пересечения. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания – это прямая, проходящая через точку B параллельно DE.

Построение сечения
1. В плоскости основания (ABCDE) проведем прямую через точку B параллельно ребру DE. Эта прямая пересечет ребро AE в некоторой точке. Обозначим эту точку K. Точка K является еще одной вершиной сечения.
2. Соединим последовательно вершины сечения B, K, M и N.
- Отрезок BK является стороной сечения и лежит в плоскости основания.
- Отрезок KM является стороной сечения и лежит в плоскости боковой грани SAE (так как K ∈ AE, а M ∈ SE).
- Отрезок MN является стороной сечения и лежит в плоскости боковой грани SDE.
- Отрезок NB замыкает многоугольник сечения.
В результате получаем четырехугольник BKMN, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник BKMN, где K – точка пересечения ребра AE с прямой, проходящей через точку B в плоскости основания параллельно ребру DE.

5.40. Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а одна из диагоналей – 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей трапеции делит данную диагональ.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, основания трапеции равны 12 см и 18 см. Пусть $BC = 12$ см и $AD = 18$ см. Длина одной из диагоналей равна 20 см. Пусть это будет диагональ $AC$, то есть $AC = 20$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные пересечением диагоналей.

Поскольку $AD \parallel BC$ (как основания трапеции), то:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Подставим известные значения длин оснований:

$\frac{AO}{CO} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ делит диагональ $AC$ в отношении $3:2$.

Пусть длина отрезка $CO$ равна $2x$, тогда длина отрезка $AO$ будет равна $3x$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали $AC$:

$AO + CO = AC$

$3x + 2x = 20$

$5x = 20$

$x = \frac{20}{5} = 4$

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$CO = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

$AO = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Проверим: $8 + 12 = 20$ см, что соответствует длине диагонали.

Ответ: 8 см и 12 см.

5.41. Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 3 : 5, а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота). Тогда $CD$ — вторая (наклонная) боковая сторона. $AC$ и $BD$ — диагонали.

По условию, боковые стороны относятся как $3:5$. Так как высота в прямоугольной трапеции является одной из боковых сторон и она меньше наклонной боковой стороны, то $AB : CD = 3 : 5$.
Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда высота $h = AB = 3x$, а боковая сторона $CD = 5x$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.
В прямоугольнике $ABCH$ сторона $CH = AB = 3x$.
В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC$. По условию, разность оснований равна 16 см, значит $HD = 16$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$:
$CH^2 + HD^2 = CD^2$
$(3x)^2 + 16^2 = (5x)^2$
$9x^2 + 256 = 25x^2$
$16x^2 = 256$
$x^2 = \frac{256}{16} = 16$
$x = 4$ (так как длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту трапеции:
$h = AB = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

В прямоугольной трапеции меньшая диагональ ($AC$) соединяет вершину прямого угла с вершиной тупого угла, а большая ($BD$) — вершину прямого угла с вершиной острого угла. По условию, меньшая диагональ равна 13 см, то есть $AC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $B = 90^\circ$). Его катеты — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$, а гипотенуза — диагональ $AC$.
По теореме Пифагора:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$12^2 + BC^2 = 13^2$
$144 + BC^2 = 169$
$BC^2 = 169 - 144 = 25$
$BC = 5$ см.

Мы знаем, что разность оснований $AD - BC = 16$ см. Найдем большее основание $AD$:
$AD = BC + 16 = 5 + 16 = 21$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot AB = \frac{5+21}{2} \cdot 12 = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см².

Ответ: 156 см².