Страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В каком случае прямую и плоскость называют параллельными?

1. Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

• Прямая пересекает плоскость в одной точке.
• Прямая лежит в плоскости (т.е. имеет с ней бесконечно много общих точек).
• Прямая параллельна плоскости.

Согласно определению, прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Это означает, что как бы мы ни продолжали прямую и плоскость, они никогда не пересекутся.

Если обозначить прямую буквой $a$, а плоскость греческой буквой $\alpha$, то их параллельность записывается как $a \parallel \alpha$. С точки зрения теории множеств, это означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Для определения параллельности прямой и плоскости на практике используют следующий признак:

Если прямая, которая не лежит в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Формально это можно записать так: если даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, причем $a \not\subset \alpha$, и существует такая прямая $b$, что $b \subset \alpha$ и $a \parallel b$, то из этого следует, что $a \parallel \alpha$.

Ответ: Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек.

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

2.

Признак параллельности прямой и плоскости — это теорема, которая устанавливает достаточное условие для того, чтобы прямая была параллельна плоскости.

Формулировка теоремы:

Если прямая, которая не лежит в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Формальная запись:

Пусть даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), если выполняются три условия:

1. Существует прямая $b$, лежащая в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

3. Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Доказательство теоремы (методом от противного):

Дано: $a \not\subset \alpha$, $b \subset \alpha$, $a \parallel b$.
Доказать: $a \parallel \alpha$.

1. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$, $b \subset \beta$).

2. Прямая $b$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию и плоскости $\beta$ по построению. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $b$ ($\alpha \cap \beta = b$).

3. Предположим, что утверждение теоремы неверно, то есть прямая $a$ не параллельна плоскости $\alpha$. По определению, это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку. Назовем ее $M$.

4. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$ ($M \in a$), а прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $M$ также принадлежит и плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

5. Итак, точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ (по нашему предположению), и плоскости $\beta$. Значит, точка $M$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $b$ ($M \in b$).

6. Таким образом, мы пришли к выводу, что точка $M$ является общей точкой для прямых $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.

7. Однако это противоречит исходному условию, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

8. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение было ложным. Следовательно, прямая $a$ не может иметь общих точек с плоскостью $\alpha$, а значит, она параллельна ей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

3. Какой отрезок называют параллельным плоскости?

Отрезок называется параллельным плоскости, если прямая, содержащая этот отрезок, параллельна этой плоскости.

Давайте разберем это определение подробнее. Пусть у нас есть отрезок $AB$ и плоскость $ \alpha $.

1. Любой отрезок $AB$ можно мысленно продолжить в обе стороны до бесконечности, получив прямую $a$. Говорят, что отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, или прямая $a$ содержит отрезок $AB$.
2. Прямая $a$ и плоскость $ \alpha $ считаются параллельными (обозначается как $a \| \alpha$), если у них нет ни одной общей точки, то есть они не пересекаются.
3. Следовательно, для того чтобы отрезок $AB$ был параллелен плоскости $ \alpha $, необходимо, чтобы содержащая его прямая $a$ не пересекала плоскость $ \alpha $.

Стоит отметить, что если отрезок $AB$ сам лежит в плоскости $ \alpha $, то и содержащая его прямая $a$ лежит в этой плоскости. В этом случае прямая и плоскость имеют бесконечно много общих точек и не считаются параллельными.

Существует также важный признак параллельности прямой и плоскости, который помогает определять такое расположение в пространстве:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Это означает, что если в плоскости $ \alpha $ можно найти прямую $b$ ($b \subset \alpha$), которая параллельна прямой $a$, содержащей отрезок $AB$ ($a \| b$), то и вся прямая $a$ (а значит, и отрезок $AB$) будет параллельна плоскости $ \alpha $.

Ответ: Отрезок называют параллельным плоскости, если он лежит на прямой, которая параллельна этой плоскости (то есть не имеет с плоскостью общих точек).

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве описываются следующими теоремами (признаками):

5.1. Укажите среди окружающих предметов модели плоскости и параллельной ей прямой.

5.1.

В геометрии прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. В окружающем мире мы можем найти множество объектов, которые служат моделями таких геометрических фигур. Моделью плоскости может быть любая ровная поверхность, а моделью прямой — любой тонкий и прямой предмет или край какого-либо объекта.

Вот несколько примеров моделей плоскости и параллельной ей прямой:

• Плоскость: пол в комнате.
  Параллельная ей прямая: линия стыка потолка и стены. Эта линия является прямой, и каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от плоскости пола. Следовательно, эта прямая никогда не пересечет пол.
• Плоскость: поверхность стола (столешница).
  Параллельная ей прямая: карандаш, который держат в воздухе горизонтально над столом. Если карандаш держать ровно, он будет представлять собой отрезок прямой, параллельной плоскости стола. Другой пример — край книжной полки, висящей на стене над столом.
• Плоскость: железнодорожное полотно.
  Параллельная ей прямая: контактный провод, натянутый над рельсами для электропоездов. Этот провод представляет собой линию, которая идет параллельно плоскости, образованной шпалами и рельсами.
• Плоскость: поверхность тетрадного листа.
  Параллельная ей прямая: край линейки, которую приподняли над листом, не касаясь его.

Ответ: Примерами моделей плоскости и параллельной ей прямой являются: пол и линия пересечения потолка со стеной; поверхность стола и край висящей над ним полки; поверхность дороги и натянутый над ней провод линии электропередач.

5.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.12). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро:

1) $AD$;

2) $C_1D_1$;

3) $BB_1$?

Рис. 5.12

Для решения этой задачи воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1) $AD$

Ребро $AD$ принадлежит граням $ABCD$ и $ADD_1A_1$. Оно пересекает грани $ABB_1A_1$ в точке $A$ и $CDD_1C_1$ в точке $D$. Таким образом, оно не может быть параллельно этим четырем граням.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $BCC_1B_1$ (передняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя).
1. Грань $BCC_1B_1$: В этой плоскости лежит ребро $BC$. Так как $ABCD$ является квадратом (гранью куба), то ребро $AD$ параллельно ребру $BC$ ($AD \parallel BC$). Следовательно, ребро $AD$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
2. Грань $A_1B_1C_1D_1$: В этой плоскости лежит ребро $A_1D_1$. Так как $ADD_1A_1$ является квадратом, то ребро $AD$ параллельно ребру $A_1D_1$ ($AD \parallel A_1D_1$). Следовательно, ребро $AD$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) $C_1D_1$

Ребро $C_1D_1$ принадлежит граням $A_1B_1C_1D_1$ и $CDD_1C_1$. Оно пересекает грани $BCC_1B_1$ в точке $C_1$ и $ADD_1A_1$ в точке $D_1$.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $ABCD$ (нижняя) и $ABB_1A_1$ (левая).
1. Грань $ABCD$: В этой плоскости лежит ребро $CD$. Так как $CDD_1C_1$ является квадратом, то ребро $C_1D_1$ параллельно ребру $CD$ ($C_1D_1 \parallel CD$). Следовательно, ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABCD$.
2. Грань $ABB_1A_1$: В этой плоскости лежит ребро $A_1B_1$. Так как $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, то ребро $C_1D_1$ параллельно ребру $A_1B_1$ ($C_1D_1 \parallel A_1B_1$). Следовательно, ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABB_1A_1$.
Ответ: $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

3) $BB_1$

Ребро $BB_1$ принадлежит граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Оно пересекает грани $ABCD$ в точке $B$ и $A_1B_1C_1D_1$ в точке $B_1$.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $CDD_1C_1$ (правая) и $ADD_1A_1$ (задняя).
1. Грань $CDD_1C_1$: В этой плоскости лежит ребро $CC_1$. Так как все боковые ребра куба параллельны и равны, то ребро $BB_1$ параллельно ребру $CC_1$ ($BB_1 \parallel CC_1$). Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $CDD_1C_1$.
2. Грань $ADD_1A_1$: В этой плоскости лежит ребро $AA_1$. Так как $ABB_1A_1$ является квадратом, то ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$ ($BB_1 \parallel AA_1$). Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $ADD_1A_1$.
Ответ: $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.

5.3. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.13), точки $E$ и $F$ – середины рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Запишите грани параллелепипеда, которым параллельна прямая:

1) $AB$

2) $CC_1$

3) $AC$

4) $EF$

Рис. 5.12

Рис. 5.13

Для решения задачи воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1) AB

Прямая $AB$ является ребром прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны, поэтому $AB \parallel A_1B_1$. Так как прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AB$ ей не принадлежит, то $AB$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим грань $DCC_1D_1$ (заднюю). В параллелепипеде $AB \parallel DC$. Так как прямая $DC$ лежит в плоскости $DCC_1D_1$, а прямая $AB$ ей не принадлежит, то $AB$ параллельна грани $DCC_1D_1$.

Прямая $AB$ лежит в гранях $ABCD$ и $ABB_1A_1$, поэтому не может быть им параллельна. Остальные грани ($ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$) прямая $AB$ пересекает.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1$ и $DCC_1D_1$.

2) CC₁

Прямая $CC_1$ является боковым ребром параллелепипеда.

• Рассмотрим грань $ADD_1A_1$ (левую). Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда параллельны, поэтому $CC_1 \parallel DD_1$. Так как прямая $DD_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, а прямая $CC_1$ ей не принадлежит, то $CC_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$.
• Рассмотрим грань $ABB_1A_1$ (переднюю). Аналогично, $CC_1 \parallel AA_1$. Так как прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а прямая $CC_1$ ей не принадлежит, то $CC_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$.

Прямая $CC_1$ лежит в гранях $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$, поэтому не может быть им параллельна. Остальные грани ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) прямая $CC_1$ пересекает.

Ответ: $ADD_1A_1$ и $ABB_1A_1$.

3) AC

Прямая $AC$ является диагональю нижней грани $ABCD$.

• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). $A_1C_1$ — диагональ этой грани. Четырёхугольник $AA_1C_1C$ является параллелограммом, так как $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Следовательно, $AC \parallel A_1C_1$. Так как прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а прямая $AC$ ей не принадлежит, то $AC$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$.

Прямая $AC$ лежит в грани $ABCD$ и пересекает боковые грани, поэтому она не параллельна никаким другим граням.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1$.

4) EF

Точки $E$ и $F$ — середины рёбер $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Рассмотрим заднюю грань $DCC_1D_1$. Так как $DD_1 \parallel CC_1$, то $DCC_1D_1$ — прямоугольник. Отрезок $EF$ соединяет середины его противоположных сторон $DD_1$ и $CC_1$, следовательно, $EF$ параллелен двум другим сторонам: $EF \parallel DC$ и $EF \parallel D_1C_1$.

• Рассмотрим грань $ABCD$ (нижнюю). Она содержит ребро $DC$. Так как $EF \parallel DC$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $ABCD$.
• Рассмотрим грань $A_1B_1C_1D_1$ (верхнюю). Она содержит ребро $D_1C_1$. Так как $EF \parallel D_1C_1$, то прямая $EF$ параллельна плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим грань $ABB_1A_1$ (переднюю). Она содержит ребро $AB$. В параллелепипеде $AB \parallel DC$. Так как мы установили, что $EF \parallel DC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $EF \parallel AB$. Следовательно, прямая $EF$ параллельна плоскости $ABB_1A_1$.

Прямая $EF$ не параллельна граням $DCC_1D_1$ (так как лежит в её плоскости), $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (так как пересекает их в точках $F$ и $E$ соответственно).

Ответ: $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и $ABB_1A_1$.

5.4. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Верно ли утверждение, что прямая $a$ параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$?

Нет, данное утверждение неверно.

Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), это означает, что у них нет общих точек. Следовательно, прямая $a$ не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$.

Однако отсутствие пересечения у двух прямых в пространстве не означает, что они параллельны. Две прямые, которые не пересекаются, могут быть либо параллельными (если они лежат в одной плоскости), либо скрещивающимися (если они не лежат в одной плоскости).

Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.

По свойству параллельности прямой и плоскости, в плоскости $\alpha$ существует как минимум одна прямая $b$, которая параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Теперь выберем в плоскости $\alpha$ другую прямую $c$, которая пересекает прямую $b$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ и не пересекается с прямой $a$. Однако прямые $a$ и $c$ не параллельны. Если предположить, что $a \parallel c$, то, поскольку $a \parallel b$, по теореме о трех параллельных прямых следовало бы, что $b \parallel c$. Но это противоречит нашему выбору, так как прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Таким образом, прямые $a$ и $c$ не пересекаются и не параллельны. Следовательно, они являются скрещивающимися.

Поскольку мы нашли в плоскости $\alpha$ прямую $c$, которая не параллельна прямой $a$, исходное утверждение о том, что прямая $a$ параллельна любой прямой в плоскости $\alpha$, является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.