Страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.17. Точка $C$ – середина отрезка $AB$, не пересекающего плоскость $\beta$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 18$ см, $CC_1 = 15$ см.

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны между собой, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, то точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ также будут лежать на одной прямой в плоскости $\beta$.

Рассмотрим плоскость, определяемую параллельными прямыми $AA_1$ и $BB_1$. В этой плоскости будут лежать отрезки $AB$ и $A_1B_1$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а прямая $CC_1$ параллельна $AA_1$, то вся фигура $ABB_1A_1$ вместе с отрезком $CC_1$ лежит в одной плоскости.

Четырехугольник $ABB_1A_1$ является трапецией, так как $AA_1 || BB_1$ (по условию), а отрезки $AB$ и $A_1B_1$ не параллельны (поскольку $AB$ не пересекает плоскость $\beta$). $AA_1$ и $BB_1$ являются основаниями этой трапеции.

По условию, точка $C$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции. Отрезок $CC_1$ соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$, и при этом $CC_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, отрезок $CC_1$ является средней линией трапеции $ABB_1A_1$.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Запишем это в виде формулы:

$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим известные значения в формулу: $BB_1 = 18$ см и $CC_1 = 15$ см.

$15 = \frac{AA_1 + 18}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $AA_1$:

$15 \cdot 2 = AA_1 + 18$

$30 = AA_1 + 18$

$AA_1 = 30 - 18$

$AA_1 = 12$ см

Ответ: 12 см.

4.18. Прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A$, $B$ и $C$, не лежащих на одной прямой (рис. 4.16). Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ – в точке $E$. Докажите, что прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся.

Для доказательства того, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися, воспользуемся методом от противного. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Предположим, что прямые $b$ и $c$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они либо пересекаются, либо параллельны. В любом из этих случаев через прямые $b$ и $c$ можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

По условию, прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $D$, а прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $E$.

Поскольку точка $D$ лежит на прямой $b$ ($D \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то точка $D$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($D \in \beta$). Аналогично, поскольку точка $E$ лежит на прямой $c$ ($E \in c$), а прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), то точка $E$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($E \in \beta$).

Точки $D$ и $E$ обе лежат на прямой $a$. Так как две различные точки прямой $a$ (точки $D$ и $E$) принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $a$ целиком лежит в этой плоскости ($a \subset \beta$) согласно аксиоме стереометрии.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все три прямые $a, b$ и $c$ лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию задачи, точка $A$ лежит на прямой $a$, точка $B$ — на прямой $b$ и точка $C$ — на прямой $c$. Так как все эти прямые лежат в плоскости $\beta$, то и точки $A, B, C$ также лежат в плоскости $\beta$.

В то же время, по условию, точки $A, B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ и, что очень важно, не лежат на одной прямой.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поскольку точки $A, B, C$ лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$, эти плоскости должны совпадать: $\alpha = \beta$.

Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают, то из нашего вывода ($a, b, c \subset \beta$) следует, что прямые $a, b, c$ лежат в плоскости $\alpha$. Однако это противоречит условию задачи, в котором говорится, что прямые $a, b, c$ пересекают плоскость $\alpha$, а не лежат в ней.

Полученное противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые $b$ и $c$ не скрещивающиеся. Следовательно, это предположение неверно.

Таким образом, прямые $b$ и $c$ не могут лежать в одной плоскости, а значит, они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

4.19. Известно, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся и прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

Нет, утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся, нельзя. Отношение "быть скрещивающимися прямыми" не является транзитивным. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — случай, когда исходные условия выполняются, а заключение — нет. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Случай 1: прямые $a$ и $c$ параллельны.

Рассмотрим три различные параллельные плоскости: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, где $\beta$ лежит между $\alpha$ и $\gamma$.

1. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$.

2. В плоскости $\gamma$ проведем прямую $c$ так, чтобы она была параллельна прямой $a$ ($a \parallel c$). Поскольку прямые $a$ и $c$ лежат в разных параллельных плоскостях, они не пересекаются. По построению они параллельны, следовательно, прямые $a$ и $c$ не являются скрещивающимися.

3. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна прямым $a$ и $c$. Например, пусть $b$ пересекает проекцию прямой $a$ на плоскость $\beta$.

Теперь проверим выполнение условий задачи для построенной конфигурации:

• Прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ — в плоскости $\beta$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямые $a$ и $b$ не пересекаются. По построению, прямая $b$ не параллельна прямой $a$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.
• Прямые $b$ и $c$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ — в плоскости $\gamma$. Так как плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны, прямые $b$ и $c$ не пересекаются. Поскольку $a \parallel c$, а прямая $b$ не параллельна $a$, то $b$ не параллельна и $c$. Следовательно, прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Таким образом, мы построили конфигурацию, в которой условия задачи выполнены (прямые $a$ и $b$ скрещиваются, прямые $b$ и $c$ скрещиваются), но вывод неверен, так как в нашем примере $a \parallel c$.

Случай 2: прямые $a$ и $c$ пересекаются.

Пусть прямые $a$ и $c$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $\alpha$. Теперь возьмем плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, и проведем в ней прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна ни прямой $a$, ни прямой $c$.В этом случае прямая $b$ будет скрещиваться как с $a$, так и с $c$ (поскольку лежит в параллельной плоскости и непараллельна им), но прямые $a$ и $c$ при этом пересекаются.

Оба примера показывают, что из скрещивания $a$ с $b$ и $b$ с $c$ не следует скрещивание $a$ с $c$.

Ответ: Нет, нельзя.

4.20. Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?

Нет, данное утверждение неверно для прямых в пространстве. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$. Согласно свойству параллельных прямых, они лежат в одной плоскости, назовем ее $\alpha$.

Возьмем третью прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ в точке $M$, но при этом прямая $c$ не лежит в плоскости $\alpha$. Такой случай возможен в трехмерном пространстве. Прямая $c$ будет пересекать плоскость $\alpha$ только в одной точке – $M$.

Прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они не имеют общих точек. Следовательно, точка $M$, принадлежащая прямой $a$, не принадлежит прямой $b$.

Таким образом, прямая $c$ имеет с плоскостью $\alpha$ единственную общую точку $M$, которая не лежит на прямой $b$. Это означает, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$. В этом случае прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

Мы построили пример, в котором прямая $c$ пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), но не пересекает другую ($b$). Следовательно, исходное утверждение для прямых в пространстве является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно для прямых в пространстве.

4.21. Точка $M$ не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых $a$ и $b$. Можно ли через точку $M$ провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$?

Нет, нельзя. Докажем это методом от противного.

Предположим, что через точку $M$ можно провести две различные прямые, назовем их $c_1$ и $c_2$, каждая из которых пересекает и прямую $a$, и прямую $b$.

Поскольку прямые $c_1$ и $c_2$ различны и пересекаются в точке $M$, через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Обе прямые, $c_1$ и $c_2$, целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Пусть прямая $c_1$ пересекает прямую $a$ в точке $A_1$ и прямую $b$ в точке $B_1$.Пусть прямая $c_2$ пересекает прямую $a$ в точке $A_2$ и прямую $b$ в точке $B_2$.

Точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат прямой $a$. В то же время, точка $A_1$ лежит на прямой $c_1$, а $A_2$ — на прямой $c_2$. Так как обе прямые $c_1$ и $c_2$ лежат в плоскости $\alpha$, то и точки $A_1$ и $A_2$ лежат в плоскости $\alpha$. Если предположить, что $A_1$ и $A_2$ совпадают, то прямые $c_1$ и $c_2$ обе проходят через две различные точки (точку $M$ и точку $A_1=A_2$), а значит, совпадают. Это противоречит нашему предположению о том, что прямые $c_1$ и $c_2$ различны. Следовательно, точки $A_1$ и $A_2$ различны.

Поскольку две различные точки ($A_1$ и $A_2$) прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.

Аналогично, точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат прямой $b$ и лежат в плоскости $\alpha$. Они также должны быть различны, иначе прямые $c_1$ и $c_2$ совпали бы. Следовательно, вся прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если бы существовали две искомые прямые, то прямые $a$ и $b$ должны были бы лежать в одной плоскости $\alpha$.

Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся. По определению, скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, нельзя.

4.22. Точка $M$ не принадлежит ни одной из параллельных прямых $a$ и $b$. Известно, что через точку $M$ можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых $a$ и $b$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной плоскости.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то согласно аксиоме стереометрии, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, обе прямые, $a$ и $b$, лежат в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$).
По условию, существует прямая, проходящая через точку $M$ и пересекающая прямые $a$ и $b$. Обозначим эту прямую как $c$, а точки ее пересечения с прямыми $a$ и $b$ — точками $A$ и $B$ соответственно.
Так как точка $A$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
Аналогично, так как точка $B$ принадлежит прямой $b$, а прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).
Прямая $c$ проходит через две различные точки $A$ и $B$ (точки различны, так как прямые $a$ и $b$ параллельны), которые обе лежат в плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ полностью принадлежит плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).
Поскольку точка $M$ по условию лежит на прямой $c$ ($M \in c$), а мы установили, что вся прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Таким образом, мы доказали, что прямые $a$ и $b$ и точка $M$ лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4.23. Через концы отрезка $AB$, пересекающего плоскость $\alpha$, и его середину $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 4.17). Найдите отрезок $CC_1$, если $AA_1 = 16$ см, $BB_1 = 8$ см.

Рис. 4.16

Рис. 4.17

Поскольку прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию задачи, то через две из них, например $AA_1$ и $BB_1$, можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.

В этой плоскости $\beta$ лежат точки $A$, $A_1$, $B$ и $B_1$. Так как отрезок $AB$ соединяет точки $A$ и $B$, он также лежит в плоскости $\beta$. По условию, точка $C$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$. Прямая $CC_1$, будучи параллельной $AA_1$ и $BB_1$, также лежит в этой плоскости $\beta$.

Таким образом, все точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. В этом четырехугольнике стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны. Следовательно, $AA_1B_1B$ является трапецией, где $AA_1$ и $BB_1$ — основания, а $AB$ и $A_1B_1$ — боковые стороны.

Точка $C$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезок $CC_1$ соединяет середину боковой стороны $AB$ с точкой $C_1$ на другой боковой стороне $A_1B_1$, и при этом $CC_1$ параллелен основаниям трапеции. По свойству трапеции, такой отрезок является ее средней линией.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. В нашем случае основаниями являются отрезки $AA_1$ и $BB_1$.

Формула для нахождения длины средней линии $CC_1$ выглядит так:

$CC_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2}$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $AA_1 = 16$ см и $BB_1 = 8$ см.

$CC_1 = \frac{16 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

4.24. На отрезке $AB$, пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC : BC = 5 : 3$. Через точки $A$, $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $AA_1$, если $BB_1 = 10$ см, $CC_1 = 4$ см и точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$.

Поскольку точка C лежит на отрезке AB и делит его в отношении $AC:BC=5:3$, мы можем выразить радиус-вектор точки C через радиус-векторы точек A и B, используя формулу деления отрезка в данном отношении:

$\vec{c} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{3+5} = \frac{3\vec{a} + 5\vec{b}}{8}$

Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны. Выберем ось координат $Oz$, параллельную этим прямым, а плоскость $\alpha$ примем за плоскость $z=0$. Тогда длины отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ будут равны абсолютным значениям z-координат точек A, B и C: $AA_1 = |z_A|$, $BB_1 = |z_B|$, $CC_1 = |z_C|$.

Проекция векторного равенства на ось $Oz$ дает аналогичное соотношение для z-координат:

$z_C = \frac{3z_A + 5z_B}{8}$

По условию, точки A и C лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что их z-координаты имеют противоположные знаки, то есть $z_A \cdot z_C < 0$.

Поскольку C лежит на отрезке AB, а A и C находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, то отрезок AB также пересекает плоскость, а значит, точки A и B тоже лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Следовательно, $z_A \cdot z_B < 0$.

Из этих двух условий следует, что координаты $z_B$ и $z_C$ имеют одинаковый знак ($z_B \cdot z_C > 0$), то есть точки B и C лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$.

Пусть искомая длина $AA_1 = x$. Примем, что точка A находится в положительной полуплоскости относительно плоскости $\alpha$, тогда $z_A = x$.

Тогда точка C находится в отрицательной полуплоскости. Учитывая, что $CC_1 = 4$ см, ее координата $z_C = -4$.

Точка B также находится в отрицательной полуплоскости. Учитывая, что $BB_1 = 10$ см, ее координата $z_B = -10$.

Подставим эти значения в формулу для координат:

$-4 = \frac{3 \cdot x + 5 \cdot (-10)}{8}$

Решим полученное уравнение:

$8 \cdot (-4) = 3x - 50$

$-32 = 3x - 50$

$3x = 50 - 32$

$3x = 18$

$x = 6$

Таким образом, длина отрезка $AA_1$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.