Номер 19, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 19, страница 39.

Условие.

4.19. Известно, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся и прямые $b$ и $c$ скрещивающиеся. Можно ли утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, утверждать, что прямые $a$ и $c$ скрещивающиеся, нельзя. Отношение "быть скрещивающимися прямыми" не является транзитивным. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — случай, когда исходные условия выполняются, а заключение — нет. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.

Случай 1: прямые $a$ и $c$ параллельны.

Рассмотрим три различные параллельные плоскости: $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, где $\beta$ лежит между $\alpha$ и $\gamma$.

1. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$.

2. В плоскости $\gamma$ проведем прямую $c$ так, чтобы она была параллельна прямой $a$ ($a \parallel c$). Поскольку прямые $a$ и $c$ лежат в разных параллельных плоскостях, они не пересекаются. По построению они параллельны, следовательно, прямые $a$ и $c$ не являются скрещивающимися.

3. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна прямым $a$ и $c$. Например, пусть $b$ пересекает проекцию прямой $a$ на плоскость $\beta$.

Теперь проверим выполнение условий задачи для построенной конфигурации:

• Прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ — в плоскости $\beta$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямые $a$ и $b$ не пересекаются. По построению, прямая $b$ не параллельна прямой $a$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ — скрещивающиеся.
• Прямые $b$ и $c$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, а прямая $c$ — в плоскости $\gamma$. Так как плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны, прямые $b$ и $c$ не пересекаются. Поскольку $a \parallel c$, а прямая $b$ не параллельна $a$, то $b$ не параллельна и $c$. Следовательно, прямые $b$ и $c$ — скрещивающиеся.

Таким образом, мы построили конфигурацию, в которой условия задачи выполнены (прямые $a$ и $b$ скрещиваются, прямые $b$ и $c$ скрещиваются), но вывод неверен, так как в нашем примере $a \parallel c$.

Случай 2: прямые $a$ и $c$ пересекаются.

Пусть прямые $a$ и $c$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $\alpha$. Теперь возьмем плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, и проведем в ней прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна ни прямой $a$, ни прямой $c$.В этом случае прямая $b$ будет скрещиваться как с $a$, так и с $c$ (поскольку лежит в параллельной плоскости и непараллельна им), но прямые $a$ и $c$ при этом пересекаются.

Оба примера показывают, что из скрещивания $a$ с $b$ и $b$ с $c$ не следует скрещивание $a$ с $c$.

Ответ: Нет, нельзя.