Номер 16, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 16, страница 38.

Условие.

4.16. На отрезке $AB$, не пересекающем плоскость $\alpha$, отмечена точка $C$ так, что $AC = 4$ см, $BC = 8$ см. Через точки $A, B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $A_1C_1$, если $B_1C_1 = 10$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим плоскость $\beta$, которая проходит через две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$. Так как точки $A$ и $B$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $AB$, содержащая эти точки, также лежит в плоскости $\beta$.

По условию, точка $C$ лежит на отрезке $AB$, следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Прямая $CC_1$ проведена через точку $C$ параллельно прямой $AA_1$. Поскольку точка $C$ лежит в плоскости $\beta$ и прямая $CC_1$ параллельна прямой $AA_1$, которая также лежит в плоскости $\beta$, то вся прямая $CC_1$ лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, все три параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются точками пересечения этих прямых с плоскостью $\alpha$. Следовательно, все эти точки лежат на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей - это прямая.

Значит, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки.

В нашей задаче параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекают прямую $AB$ и прямую $A_1B_1$. Следовательно, отрезки, отсекаемые на этих прямых, пропорциональны:

$\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}$

Подставим известные значения из условия: $AC = 4$ см, $BC = 8$ см, $B_1C_1 = 10$ см.

$\frac{4}{8} = \frac{A_1C_1}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{A_1C_1}{10}$

Отсюда находим $A_1C_1$:

$A_1C_1 = \frac{1 \cdot 10}{2} = 5$ см.

Ответ: $A_1C_1 = 5$ см.