Номер 10, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 10, страница 38.

Условие.

4.10. Прямые $a$ и $b$ параллельны. Точки $A$ и $B$ принадлежат прямой $a$, точки $C$ и $D$ – прямой $b$. Каково взаимное расположение прямых $AC$ и $BD$? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они задают единственную плоскость. Все точки $A, B, C, D$ лежат в этой плоскости, а значит и прямые $AC$ и $BD$ также лежат в этой плоскости. Две прямые в одной плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Случай, когда прямые $AC$ и $BD$ совпадают, невозможен. Если бы они совпадали, то все четыре точки $A, B, C, D$ лежали бы на одной прямой. Это означало бы, что прямая $a$ (содержащая точки $A$ и $B$) и прямая $b$ (содержащая точки $C$ и $D$) совпадают, что противоречит условию, так как параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Следовательно, для прямых $AC$ и $BD$ возможны два варианта взаимного расположения: они пересекаются или параллельны. Рассмотрим оба случая.

Рассмотрим четырехугольник $ACDB$. Его стороны $AB$ и $CD$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$ соответственно. Это означает, что $ACDB$ — это трапеция, основания которой лежат на прямых $a$ и $b$. Прямые $AC$ и $BD$ являются боковыми сторонами этой трапеции.

1. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются.

Это общий случай. Боковые стороны трапеции пересекаются, если трапеция не является параллелограммом. Это произойдет, если расположение точек $A, B$ на прямой $a$ не "копирует" в точности расположение точек $C, D$ на прямой $b$. Говоря языком векторов, это случай, когда вектор $\vec{AB}$ не равен вектору $\vec{CD}$ (т.е. $\vec{AB} \neq \vec{CD}$). В этом случае прямые, содержащие боковые стороны $AC$ и $BD$, пересекаются.

2. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Это частный случай. Боковые стороны трапеции $ACDB$ параллельны тогда и только тогда, когда эта трапеция является параллелограммом. Для этого необходимо, чтобы не только основания были параллельны, но и боковые стороны. Это условие выполняется, когда направленный отрезок (вектор) из $A$ в $B$ равен направленному отрезку из $C$ в $D$, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это означает, что отрезок $AB$ имеет ту же длину и то же направление, что и отрезок $CD$. В этом частном случае четырехугольник $ACDB$ является параллелограммом, и его противоположные стороны $AC$ и $BD$ параллельны.

Ответ: Прямые $AC$ и $BD$ могут либо пересекаться, либо быть параллельными.
1. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не равны ($\vec{AB} \neq \vec{CD}$). Это является общим случаем.
2. Прямые $AC$ и $BD$ параллельны, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны ($\vec{AB} = \vec{CD}$). Это является частным случаем.