Номер 6, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 6, страница 37.

Условие.

4.6. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 4.14). Докажите, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещивающиеся.

Рис. 4.14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Рассмотрим прямую $BC$. Она является ребром куба и принадлежит плоскости нижнего основания, то есть плоскости $(ABC)$.

Теперь рассмотрим прямую $AA_1$. Эта прямая является боковым ребром куба. Она пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $A$, так как точка $A$ принадлежит и прямой $AA_1$, и плоскости $(ABC)$, а точка $A_1$ этой плоскости не принадлежит.

Точка пересечения прямой $AA_1$ и плоскости $(ABC)$ — это точка $A$. Эта точка не лежит на прямой $BC$, поскольку $A$, $B$ и $C$ — это три различные вершины квадрата в основании, и точка $A$ не совпадает ни с точкой $B$, ни с точкой $C$.

Таким образом, все условия признака скрещивающихся прямых выполнены: прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не принадлежит прямой $BC$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися.