Номер 5, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 5, страница 37.

Условие.

4.5. Верно ли утверждение:

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;
Утверждение неверно. Это утверждение справедливо только для прямых, лежащих в одной плоскости. В трехмерном пространстве две прямые, которые не являются параллельными, могут и не пересекаться. Такие прямые называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ на нижнем основании и ребро $D_1C_1$ на верхнем основании параллельны. А вот ребро $AB$ и ребро $A_1D_1$ не параллельны и не пересекаются — они являются скрещивающимися.
Ответ: неверно.

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;
Утверждение верно. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Следовательно, если две прямые не являются скрещивающимися, то они лежат в одной плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.
Ответ: верно.

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;
Утверждение неверно. Две различные прямые, лежащие в одной плоскости, могут не пересекаться. В этом случае они являются параллельными. Например, две противоположные стороны прямоугольника лежат в одной плоскости, но они параллельны и не пересекаются.
Ответ: неверно.

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?
Утверждение верно. Это является определением скрещивающихся прямых. Рассмотрим все возможные взаимные расположения двух различных прямых в пространстве:
- они лежат в одной плоскости (компланарны), и тогда они либо пересекаются, либо параллельны.
- они не лежат в одной плоскости, и тогда они называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны.
Таким образом, если две прямые не пересекаются, они могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. Если к этому добавить условие, что они не параллельны, то остается единственный вариант — прямые являются скрещивающимися.
Ответ: верно.