Номер 3, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 3, страница 37.

Условие.

4.3. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 4.12). Назовите рёбра пирамиды, скрещивающиеся с ребром $SA$.

Рис. 4.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Скрещивающимися прямыми в пространстве называются такие прямые, которые не пересекаются и не параллельны. Эквивалентное определение гласит, что это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы найти рёбра пирамиды $SABCD$, скрещивающиеся с ребром $SA$, нужно последовательно исключить все рёбра, которые его пересекают или ему параллельны.

1. Рёбра, пересекающие ребро $SA$.
Это рёбра, которые имеют с ребром $SA$ общую вершину.

• В вершине $S$ с ребром $SA$ пересекаются боковые рёбра $SB$, $SC$ и $SD$.
• В вершине $A$ с ребром $SA$ пересекаются рёбра основания $AB$ и $AD$.

Таким образом, рёбра $AB$, $AD$, $SB$, $SC$, $SD$ не являются скрещивающимися с ребром $SA$.

2. Рёбра, параллельные ребру $SA$.
В общем случае в пирамиде нет рёбер, параллельных боковому ребру. Поэтому таких рёбер нет.

3. Оставшиеся рёбра.
Рёбра, которые не были перечислены выше, это $BC$ и $CD$. Они не пересекают ребро $SA$ и не параллельны ему. Проверим, лежат ли они в одной плоскости с ребром $SA$.

• Ребро $BC$: Прямая $SA$ лежит в плоскости боковой грани $(SAB)$. Точка $C$ не принадлежит этой плоскости, поскольку иначе она лежала бы на прямой $AB$, что невозможно для вершин основания пирамиды. Так как прямая $BC$ содержит точку $C$, не лежащую в плоскости $(SAB)$, то прямая $BC$ не может лежать в этой плоскости. Следовательно, прямые $SA$ и $BC$ не лежат в одной плоскости, а значит, они скрещиваются.
• Ребро $CD$: Прямая $SA$ лежит в плоскости боковой грани $(SAD)$. Точка $C$ не принадлежит этой плоскости, поскольку иначе она лежала бы на прямой $AD$. Так как прямая $CD$ содержит точку $C$, не лежащую в плоскости $(SAD)$, то прямая $CD$ не может лежать в этой плоскости. Следовательно, прямые $SA$ и $CD$ не лежат в одной плоскости, а значит, они скрещиваются.

В результате анализа мы установили, что с ребром $SA$ скрещиваются рёбра $BC$ и $CD$.

Ответ: $BC$, $CD$.