Номер 1, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 1, страница 37.

Условие.

4.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.11). Назовите рёбра: 1) параллельные ребру $CD$; 2) скрещивающиеся с ребром $CD$.

Рис. 4.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) параллельные ребру $CD$

Параллельные прямые (и, соответственно, рёбра) лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребру $CD$ параллельны следующие рёбра:
- Ребро $AB$, так как они лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$. Следовательно, $AB \parallel CD$.
- Ребро $C_1D_1$, так как они лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ и являются противоположными сторонами квадрата $CDD_1C_1$. Следовательно, $C_1D_1 \parallel CD$.
- Ребро $A_1B_1$, так как оно параллельно ребру $AB$ (противоположные стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$), а ребро $AB$ в свою очередь параллельно ребру $CD$. По свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, если $A_1B_1 \parallel AB$ и $AB \parallel CD$, то $A_1B_1 \parallel CD$.

Ответ: $AB, A_1B_1, C_1D_1$.

2) скрещивающиеся с ребром $CD$

Скрещивающиеся прямые (рёбра) — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы найти все рёбра, скрещивающиеся с ребром $CD$, мы должны исключить из всего множества рёбер куба те, которые либо параллельны ребру $CD$, либо пересекают его.
1. Рёбра, параллельные ребру $CD$. Из предыдущего пункта мы знаем, что это рёбра: $AB, A_1B_1, C_1D_1$.
2. Рёбра, пересекающие ребро $CD$. Это рёбра, которые имеют общую вершину с ребром $CD$. Вершины ребра $CD$ — это $C$ и $D$.
- В вершине $C$ с ребром $CD$ пересекаются рёбра $BC$ и $CC_1$.
- В вершине $D$ с ребром $CD$ пересекаются рёбра $AD$ и $DD_1$.
Всего в кубе 12 рёбер. Исключим само ребро $CD$ (1), три параллельных ему ребра ($AB, A_1B_1, C_1D_1$) и четыре пересекающих его ребра ($BC, CC_1, AD, DD_1$).
$12 - 1 - 3 - 4 = 4$.
Оставшиеся 4 ребра и будут скрещивающимися с ребром $CD$. Это рёбра, которые не лежат в плоскостях граней, содержащих ребро $CD$ (плоскости $ABCD$ и $CDD_1C_1$), и не параллельны ему:
- Вертикальные рёбра передней грани: $AA_1$ и $BB_1$.
- Рёбра верхнего основания, которые не параллельны $CD$: $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $AA_1, BB_1, A_1D_1, B_1C_1$.