Номер 3, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 3, страница 36.

Условие.

3. Какие существуют случаи расположения прямых в пространстве?

Решение 1.

Решение 3.

Взаимное расположение двух прямых в трехмерном пространстве можно классифицировать на основе количества их общих точек и того, лежат ли они в одной плоскости. Существует три основных случая для различных прямых и один вырожденный случай, когда прямые совпадают.

Пересекающиеся прямые

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Важным свойством пересекающихся прямых является то, что они всегда лежат в одной плоскости. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, это можно записать как $a \cap b = \{M\}$.

Ответ: Прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Параллельные прямые

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Обозначение параллельности прямых $a$ и $b$ — $a \parallel b$. Условие параллельности означает, что существует плоскость $\alpha$, которой принадлежат обе прямые ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$), и при этом их пересечение пусто ($a \cap b = \emptyset$). Через две параллельные прямые также проходит единственная плоскость.

Ответ: Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными. Этот случай отличает геометрию в пространстве от геометрии на плоскости. Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то они не имеют общих точек ($a \cap b = \emptyset$) и не существует плоскости, которая содержала бы обе эти прямые. Классическим примером являются два непересекающихся и непараллельных ребра куба.

Ответ: Прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Совпадающие прямые

Это частный (вырожденный) случай, когда две прямые являются одной и той же прямой. В этом случае они имеют бесконечное множество общих точек — все свои точки. Если прямые $a$ и $b$ совпадают, это записывается как $a = b$.

Ответ: Прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть совпадают.