Страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие две прямые в пространстве называют параллельными?

1. В стереометрии (геометрии в пространстве) две прямые называются параллельными, если они одновременно удовлетворяют двум ключевым условиям:
1) Они лежат в одной плоскости (являются компланарными).
2) Они не пересекаются (не имеют общих точек).

Обозначение параллельности прямых $a$ и $b$ такое же, как и в планиметрии: $a \parallel b$.

Важно подчеркнуть, что оба условия обязательны. Первое условие (принадлежность одной плоскости) является принципиальным отличием от определения на плоскости, где все фигуры по умолчанию лежат в одной плоскости. В трехмерном пространстве существуют прямые, которые не пересекаются, но и не являются параллельными, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Таким образом, для двух различных прямых $a$ и $b$, чтобы они были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая плоскость $\alpha$, что обе прямые принадлежат этой плоскости ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$), и при этом их пересечение было пустым множеством ($a \cap b = \emptyset$).

Ответ: Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Какие две прямые в пространстве называют скрещивающимися?

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что невозможно провести одну-единственную плоскость, которая содержала бы обе эти прямые.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве может быть следующим:
1. Прямые лежат в одной плоскости: в этом случае они могут быть пересекающимися (имеют одну общую точку), параллельными (не имеют общих точек) или совпадающими.
2. Прямые не лежат в одной плоскости: в этом случае они и называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек (не пересекаются) и не являются параллельными.

Признак скрещивающихся прямых
Существует теорема (признак), которая помогает определить, являются ли прямые скрещивающимися: если одна прямая $a$ лежит в некоторой плоскости $\alpha$, а другая прямая $b$ пересекает эту плоскость в точке $M$, не лежащей на прямой $a$, то прямые $a$ и $b$ скрещиваются.

Ответ: Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

3. Какие существуют случаи расположения прямых в пространстве?

Взаимное расположение двух прямых в трехмерном пространстве можно классифицировать на основе количества их общих точек и того, лежат ли они в одной плоскости. Существует три основных случая для различных прямых и один вырожденный случай, когда прямые совпадают.

Пересекающиеся прямые

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Важным свойством пересекающихся прямых является то, что они всегда лежат в одной плоскости. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, это можно записать как $a \cap b = \{M\}$.

Ответ: Прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Параллельные прямые

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Обозначение параллельности прямых $a$ и $b$ — $a \parallel b$. Условие параллельности означает, что существует плоскость $\alpha$, которой принадлежат обе прямые ($a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$), и при этом их пересечение пусто ($a \cap b = \emptyset$). Через две параллельные прямые также проходит единственная плоскость.

Ответ: Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными. Этот случай отличает геометрию в пространстве от геометрии на плоскости. Если прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то они не имеют общих точек ($a \cap b = \emptyset$) и не существует плоскости, которая содержала бы обе эти прямые. Классическим примером являются два непересекающихся и непараллельных ребра куба.

Ответ: Прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Совпадающие прямые

Это частный (вырожденный) случай, когда две прямые являются одной и той же прямой. В этом случае они имеют бесконечное множество общих точек — все свои точки. Если прямые $a$ и $b$ совпадают, это записывается как $a = b$.

Ответ: Прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть совпадают.

4. Какие два отрезка называют параллельными? скрещивающимися?

параллельными

Два отрезка в пространстве называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Таким образом, если взять отрезок $AB$ на прямой $a$ и отрезок $CD$ на прямой $b$, то отрезки $AB$ и $CD$ будут параллельны при условии, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Это означает, что оба отрезка лежат в одной плоскости, но не имеют общих точек (если только они не являются частями одной и той же прямой).

Ответ: Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

скрещивающимися

Два отрезка в пространстве называются скрещивающимися, если они лежат на скрещивающихся прямых. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Как следствие, они не пересекаются и не являются параллельными.

Если отрезок $AB$ лежит на прямой $a$, а отрезок $CD$ — на прямой $b$, то эти отрезки скрещиваются, если скрещиваются содержащие их прямые $a$ и $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются ($a \cap b = \emptyset$) и не параллельны ($a \nparallel b$). Следовательно, скрещивающиеся отрезки никогда не лежат в одной плоскости.

Ответ: Два отрезка называются скрещивающимися, если они лежат на скрещивающихся прямых.