Страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Отрезок $BM$ – медиана треугольника $ABC$, точка $O$ – середина отрезка $BM$. Через точки $A, B, C, M$ и $O$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1$ и $O_1$ соответственно. Найдите отрезок $BB_1$, если $AA_1 = 17$ см, $CC_1 = 13$ см, $OO_1 = 12$ см.

Поскольку отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$, то точка $M$ — середина стороны $AC$. По условию, через точки $A$, $C$ и $M$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $C_1$ и $M_1$. Это означает, что четырехугольник $ACC_1A_1$ является трапецией, в которой отрезки $AA_1$ и $CC_1$ — параллельные основания, а $AC$ и $A_1C_1$ — боковые стороны. Отрезок $MM_1$ соединяет середину боковой стороны $AC$ с боковой стороной $A_1C_1$ и параллелен основаниям, следовательно, $MM_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

Найдем длину отрезка $MM_1$:

$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения $AA_1 = 17$ см и $CC_1 = 13$ см:

$MM_1 = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим отрезок $BM$. По условию, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Через точки $B$, $M$ и $O$ также проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$, $M_1$ и $O_1$. Аналогично предыдущему случаю, четырехугольник $BMM_1B_1$ является трапецией с основаниями $BB_1$ и $MM_1$. Отрезок $OO_1$ является средней линией этой трапеции.

Используя формулу для средней линии трапеции $BMM_1B_1$, выразим искомую длину отрезка $BB_1$:

$OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2}$

Подставим известные значения $OO_1 = 12$ см и найденное значение $MM_1 = 15$ см:

$12 = \frac{BB_1 + 15}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$24 = BB_1 + 15$

Теперь найдем $BB_1$:

$BB_1 = 24 - 15$

$BB_1 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

4.26. Вершина $A$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через вершины $B$, $C$ и $D$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$, $C_1$ и $D_1$ соответственно. Найдите отрезок $CC_1$, если $DD_1 = 9$ см, $BB_1 = 26$ см.

Для вершин любого параллелограмма $ABCD$ справедливо векторное равенство для их радиус-векторов, проведенных из произвольного начала координат: $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$.

Спроецируем это векторное равенство на прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Проекция точки на эту прямую будет равна ее расстоянию до плоскости $\alpha$, взятому со знаком «+», если точка находится с одной стороны от плоскости, и со знаком «-», если с другой. Обозначим эти направленные расстояния как $h_A, h_B, h_C, h_D$. Так как операция проецирования является линейной, для проекций векторов равенство сохранится:

$h_A + h_C = h_B + h_D$

Согласно условию задачи, вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, поэтому ее расстояние до плоскости равно нулю, то есть $h_A = 0$. Длины заданных отрезков являются абсолютными значениями (модулями) соответствующих расстояний:

$BB_1 = |h_B| = 26$ см

$DD_1 = |h_D| = 9$ см

Требуется найти длину отрезка $CC_1$, которая равна $|h_C|$.

Подставим $h_A = 0$ в наше равенство:

$0 + h_C = h_B + h_D \implies h_C = h_B + h_D$

Существует два возможных случая взаимного расположения вершин $B$ и $D$ относительно плоскости $\alpha$.

1. Вершины $B$ и $D$ расположены по одну сторону от плоскости $\alpha$.
В этом случае их направленные расстояния $h_B$ и $h_D$ имеют одинаковые знаки. Мы можем положить $h_B = 26$ см и $h_D = 9$ см (или оба отрицательны, что даст тот же результат для модуля). Тогда:

$h_C = 26 + 9 = 35$ см

Длина отрезка $CC_1$ будет равна:

$CC_1 = |h_C| = |35| = 35$ см.

2. Вершины $B$ и $D$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$.
В этом случае их направленные расстояния $h_B$ и $h_D$ имеют противоположные знаки. Мы можем положить $h_B = 26$ см и $h_D = -9$ см (или наоборот, что даст тот же результат для модуля). Тогда:

$h_C = 26 + (-9) = 17$ см

Длина отрезка $CC_1$ будет равна:

$CC_1 = |h_C| = |17| = 17$ см.

Так как в условии задачи не уточнено расположение вершин параллелограмма относительно плоскости, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 35 см или 17 см.

4.27. Прямая пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$, таких, что $\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC}$. Докажите, что $MK \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $MBK$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\triangle ABC$ и $\triangle MBK$).

2. По условию задачи дано соотношение, что прямая, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно, делит их в равных отношениях, считая от вершины $B$:

$\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC}$

Это соотношение можно преобразовать. Возьмем обратные величины с обеих сторон равенства:

$\frac{MA}{BM} = \frac{KC}{BK}$

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$\frac{MA}{BM} + 1 = \frac{KC}{BK} + 1$

Приводя к общему знаменателю в каждой части, получаем:

$\frac{MA + BM}{BM} = \frac{KC + BK}{BK}$

Поскольку точки $M$ и $K$ лежат на отрезках $AB$ и $BC$, то $MA + BM = AB$ и $KC + BK = BC$. Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BK}$

Это равенство показывает, что стороны треугольников $ABC$ и $MBK$, прилежащие к общему углу $\angle B$, пропорциональны.

Таким образом, мы установили, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle MBK$ имеют общий угол $\angle B$ и пропорциональные стороны, образующие этот угол ($\frac{AB}{BM} = \frac{BC}{BK}$).

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle ABC \sim \triangle MBK$.

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $M$ в треугольнике $MBK$ равен углу при вершине $A$ в треугольнике $ABC$:

$\angle BMK = \angle BAC$

Углы $\angle BMK$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при пересечении прямых $MK$ и $AC$ секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $MK$ и $AC$ параллельны.

Следовательно, $MK \parallel AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4.28. Точка $E$ – середина медианы $BM$ треугольника $ABC$. Прямая $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$, считая от вершины $B$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Приведем два из них.

Решение с помощью дополнительного построения (метод подобных треугольников)

Пусть дан треугольник $ABC$. $BM$ является медианой, проведенной к стороне $AC$, следовательно, точка $M$ – середина $AC$ ($AM=MC$). Точка $E$ – середина медианы $BM$ ($BE=EM$). Прямая, проходящая через точки $A$ и $E$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Требуется найти отношение $BK:KC$.

Для решения задачи проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AK$. Пусть точка $D$ – точка пересечения этой прямой со стороной $BC$. Таким образом, мы имеем $MD \parallel AK$ и, как следствие, $MD \parallel EK$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как $M$ – середина стороны $AC$ и $MD \parallel AK$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии) прямая $MD$ пересекает сторону $KC$ в ее середине. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $KC$, и мы получаем равенство $KD = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BMD$. Так как $E$ – середина стороны $BM$ и $EK \parallel MD$, то, аналогично применив теорему Фалеса, получаем, что прямая $EK$ пересекает сторону $BD$ в ее середине. Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BD$, и мы получаем равенство $BK = KD$.

Из полученных равенств $KD = DC$ и $BK = KD$ следует, что $BK = KD = DC$. Это означает, что отрезок $BC$ разделен на три равные части: $BK$, $KD$ и $DC$.

Искомое отношение – это $\frac{BK}{KC}$. Отрезок $KC$ можно представить как сумму отрезков $KD$ и $DC$: $KC = KD + DC$. Поскольку $KD=BK$ и $DC=BK$, то $KC = BK + BK = 2BK$. Тогда отношение равно $\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{2BK} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1:2$.

Решение с помощью теоремы Менелая

Данный метод позволяет решить задачу более компактно, без дополнительных построений.

Рассмотрим треугольник $BMC$ и прямую $AEK$ как секущую. Эта прямая пересекает стороны $BM$ и $BC$ треугольника в точках $E$ и $K$ соответственно, а также продолжение стороны $MC$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $BMC$ и секущей $AEK$ справедливо следующее равенство:

$$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{ME}{EB} = 1 $$

Определим значения отношений в этой формуле из условий задачи. Так как $BM$ – медиана, то $M$ – середина $AC$, откуда следует, что $AC = 2AM$. Поэтому отношение $\frac{CA}{AM} = 2$. Так как $E$ – середина $BM$, то $EM = EB$. Поэтому отношение $\frac{ME}{EB} = 1$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения находим искомое отношение:

$$ \frac{BK}{KC} = \frac{1}{2} $$

Таким образом, точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $1$ к $2$, считая от вершины $B$.

Ответ: $1:2$.