Номер 28, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 28, страница 40.

Условие.

4.28. Точка $E$ – середина медианы $BM$ треугольника $ABC$. Прямая $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение, в котором точка $K$ делит отрезок $BC$, считая от вершины $B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Приведем два из них.

Решение с помощью дополнительного построения (метод подобных треугольников)

Пусть дан треугольник $ABC$. $BM$ является медианой, проведенной к стороне $AC$, следовательно, точка $M$ – середина $AC$ ($AM=MC$). Точка $E$ – середина медианы $BM$ ($BE=EM$). Прямая, проходящая через точки $A$ и $E$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Требуется найти отношение $BK:KC$.

Для решения задачи проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $AK$. Пусть точка $D$ – точка пересечения этой прямой со стороной $BC$. Таким образом, мы имеем $MD \parallel AK$ и, как следствие, $MD \parallel EK$.

Рассмотрим треугольник $AKC$. Так как $M$ – середина стороны $AC$ и $MD \parallel AK$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии) прямая $MD$ пересекает сторону $KC$ в ее середине. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $KC$, и мы получаем равенство $KD = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BMD$. Так как $E$ – середина стороны $BM$ и $EK \parallel MD$, то, аналогично применив теорему Фалеса, получаем, что прямая $EK$ пересекает сторону $BD$ в ее середине. Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BD$, и мы получаем равенство $BK = KD$.

Из полученных равенств $KD = DC$ и $BK = KD$ следует, что $BK = KD = DC$. Это означает, что отрезок $BC$ разделен на три равные части: $BK$, $KD$ и $DC$.

Искомое отношение – это $\frac{BK}{KC}$. Отрезок $KC$ можно представить как сумму отрезков $KD$ и $DC$: $KC = KD + DC$. Поскольку $KD=BK$ и $DC=BK$, то $KC = BK + BK = 2BK$. Тогда отношение равно $\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{2BK} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1:2$.

Решение с помощью теоремы Менелая

Данный метод позволяет решить задачу более компактно, без дополнительных построений.

Рассмотрим треугольник $BMC$ и прямую $AEK$ как секущую. Эта прямая пересекает стороны $BM$ и $BC$ треугольника в точках $E$ и $K$ соответственно, а также продолжение стороны $MC$ в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $BMC$ и секущей $AEK$ справедливо следующее равенство:

$$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{ME}{EB} = 1 $$

Определим значения отношений в этой формуле из условий задачи. Так как $BM$ – медиана, то $M$ – середина $AC$, откуда следует, что $AC = 2AM$. Поэтому отношение $\frac{CA}{AM} = 2$. Так как $E$ – середина $BM$, то $EM = EB$. Поэтому отношение $\frac{ME}{EB} = 1$.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:

$$ \frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения находим искомое отношение:

$$ \frac{BK}{KC} = \frac{1}{2} $$

Таким образом, точка $K$ делит отрезок $BC$ в отношении $1$ к $2$, считая от вершины $B$.

Ответ: $1:2$.