Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 2, страница 45.

Условие.

5.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.12). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро:

1) $AD$;

2) $C_1D_1$;

3) $BB_1$?

Рис. 5.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1) $AD$

Ребро $AD$ принадлежит граням $ABCD$ и $ADD_1A_1$. Оно пересекает грани $ABB_1A_1$ в точке $A$ и $CDD_1C_1$ в точке $D$. Таким образом, оно не может быть параллельно этим четырем граням.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $BCC_1B_1$ (передняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя).
1. Грань $BCC_1B_1$: В этой плоскости лежит ребро $BC$. Так как $ABCD$ является квадратом (гранью куба), то ребро $AD$ параллельно ребру $BC$ ($AD \parallel BC$). Следовательно, ребро $AD$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
2. Грань $A_1B_1C_1D_1$: В этой плоскости лежит ребро $A_1D_1$. Так как $ADD_1A_1$ является квадратом, то ребро $AD$ параллельно ребру $A_1D_1$ ($AD \parallel A_1D_1$). Следовательно, ребро $AD$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$.
Ответ: $BCC_1B_1$ и $A_1B_1C_1D_1$.

2) $C_1D_1$

Ребро $C_1D_1$ принадлежит граням $A_1B_1C_1D_1$ и $CDD_1C_1$. Оно пересекает грани $BCC_1B_1$ в точке $C_1$ и $ADD_1A_1$ в точке $D_1$.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $ABCD$ (нижняя) и $ABB_1A_1$ (левая).
1. Грань $ABCD$: В этой плоскости лежит ребро $CD$. Так как $CDD_1C_1$ является квадратом, то ребро $C_1D_1$ параллельно ребру $CD$ ($C_1D_1 \parallel CD$). Следовательно, ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABCD$.
2. Грань $ABB_1A_1$: В этой плоскости лежит ребро $A_1B_1$. Так как $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом, то ребро $C_1D_1$ параллельно ребру $A_1B_1$ ($C_1D_1 \parallel A_1B_1$). Следовательно, ребро $C_1D_1$ параллельно плоскости грани $ABB_1A_1$.
Ответ: $ABCD$ и $ABB_1A_1$.

3) $BB_1$

Ребро $BB_1$ принадлежит граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Оно пересекает грани $ABCD$ в точке $B$ и $A_1B_1C_1D_1$ в точке $B_1$.
Рассмотрим две оставшиеся грани: $CDD_1C_1$ (правая) и $ADD_1A_1$ (задняя).
1. Грань $CDD_1C_1$: В этой плоскости лежит ребро $CC_1$. Так как все боковые ребра куба параллельны и равны, то ребро $BB_1$ параллельно ребру $CC_1$ ($BB_1 \parallel CC_1$). Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $CDD_1C_1$.
2. Грань $ADD_1A_1$: В этой плоскости лежит ребро $AA_1$. Так как $ABB_1A_1$ является квадратом, то ребро $BB_1$ параллельно ребру $AA_1$ ($BB_1 \parallel AA_1$). Следовательно, ребро $BB_1$ параллельно плоскости грани $ADD_1A_1$.
Ответ: $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$.