Номер 8, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 8, страница 46.

Условие.

5.8. Вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости шестиугольника (рис. 5.14). Каково взаимное расположение плоскости $\alpha$ и прямой:

1) $BC$;

2) $AB$;

3) $BD$;

4) $AD$?

Рис. 5.14

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку вершины $E$ и $F$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии вся прямая $EF$ также лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость шестиугольника и плоскость $\alpha$ различны, так как по условию они не совпадают.

1) BC
В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Сторона $BC$ противолежит стороне $FE$, следовательно, $BC \parallel FE$.
Прямая $FE$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как точки $B$ и $C$ не принадлежат ей. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

2) AB
Прямые $AB$ и $EF$ лежат в одной плоскости — плоскости шестиугольника. В правильном шестиугольнике смежные стороны непараллельны, поэтому прямые $AB$ и $EF$ не параллельны. А раз они лежат в одной плоскости и не параллельны, то они пересекаются в некоторой точке $M$.
Поскольку прямая $EF$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка их пересечения $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $M$ также принадлежит прямой $AB$. Так как прямая $AB$ имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $M$ и не лежит в ней, то прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.
Ответ: прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$.

3) BD
Диагональ $BD$ и сторона $EF$ лежат в плоскости шестиугольника. В правильном шестиугольнике диагональ $BD$ не параллельна стороне $EF$ (диагональ $BD$ параллельна стороне $AF$). Следовательно, прямые $BD$ и $EF$ пересекаются в некоторой точке $K$.
Так как прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $K$ также принадлежит прямой $BD$. Таким образом, прямая $BD$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$ и, не лежа в ней, пересекает эту плоскость.
Ответ: прямая $BD$ пересекает плоскость $\alpha$.

4) AD
В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $FE$ (а также стороне $BC$).
Так как $AD \parallel FE$, прямая $FE$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $AD$ не лежит в этой плоскости, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$.
Ответ: прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$.