Номер 15, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 15, страница 47.

Условие.

5.15. Вершины A и C треугольника ABC принадлежат плоскости $ \alpha $, а вершина B не принадлежит этой плоскости. На сторонах AB и BC отмечены соответственно точки E и F так, что $ BA : BE = BC : BF $. Докажите, что прямая EF параллельна плоскости $ \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$. По условию задачи дано соотношение $BA : BE = BC : BF$, которое можно записать в виде пропорции $\frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF}$.

В треугольниках $ABC$ и $EBF$ угол $\angle B$ является общим. Стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны, что следует из условия: $\frac{BE}{BA} = \frac{BF}{BC}$. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($ΔEBF \sim ΔABC$).

Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle BEF = \angle BAC$. Эти углы являются соответственными при прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то прямые $EF$ и $AC$ параллельны ($EF \parallel AC$).

По условию, вершины $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $AC$, проходящая через эти две точки, целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Мы доказали, что $EF \parallel AC$, и мы знаем, что $AC \subset \alpha$. Прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как если бы она лежала, то точки $E$ и $F$ находились бы в плоскости $\alpha$. Но точка $E$ лежит на отрезке $AB$, а $F$ на $BC$. Если бы $E$ и $A$ лежали в $\alpha$, то вся прямая $AB$ лежала бы в $\alpha$, а значит и точка $B$ лежала бы в $\alpha$, что противоречит условию. Следовательно, прямая $EF$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполнены, и прямая $EF$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: Что и требовалось доказать.