Номер 17, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 17, страница 47.

Условие.

5.17. На ребре $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ (рис. 5.18). Постройте линию пересечения плоскостей:

1) $ADM$ и $BB_1C_1$;

2) $AA_1M$ и $DCC_1$.

Рис. 5.18

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) ADM и BB₁C₁

Для построения линии пересечения плоскостей $ADM$ и $BB_1C_1$ (плоскость грани $BB_1C_1C$) воспользуемся свойством пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью.

1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Значит, плоскость грани $ADD_1A_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$.

2. Плоскость $ADM$ является секущей для этих двух параллельных плоскостей.

3. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

4. Плоскость $ADM$ пересекает плоскость грани $ADD_1A_1$ по прямой $AD$ (так как точки $A$ и $D$ лежат в обеих плоскостях).

5. Следовательно, линия пересечения плоскости $ADM$ с плоскостью грани $BCC_1B_1$ (которую мы ищем) должна быть параллельна прямой $AD$.

6. Теперь найдем хотя бы одну общую точку для плоскостей $ADM$ и $BB_1C_1$. По условию, точка $M$ лежит на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ является частью грани $BCC_1B_1$, поэтому точка $M$ принадлежит плоскости $BB_1C_1$. По определению, точка $M$ также принадлежит плоскости $ADM$. Таким образом, $M$ — это общая точка двух плоскостей, и она лежит на линии их пересечения.

7. Итак, искомая линия пересечения проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$.

Для построения этой линии в плоскости $BCC_1B_1$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную $AD$. Поскольку в параллелепипеде $AD \parallel BC$, эта прямая будет также параллельна $BC$. Пусть она пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Искомая линия пересечения — это прямая $MK$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AD$.

2) AA₁M и DCC₁

Необходимо построить линию пересечения плоскости $AA_1M$ (проходящей через прямую $AA_1$ и точку $M$) и плоскости $DCC_1$ (плоскости грани $DCC_1D_1$).

1. Найдем общие точки или прямые для этих двух плоскостей.

2. По условию, точка $M$ находится на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ принадлежит грани $DCC_1D_1$, поэтому точка $M$ лежит в плоскости $DCC_1$. По построению, точка $M$ также лежит в плоскости $AA_1M$. Следовательно, $M$ — это общая точка двух плоскостей.

3. Рассмотрим прямую $CC_1$. Она целиком лежит в плоскости грани $DCC_1D_1$.

4. Проверим, лежит ли прямая $CC_1$ в плоскости $AA_1M$. В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра параллельны, значит $AA_1 \parallel CC_1$. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. В данном случае это плоскость диагонального сечения $AA_1C_1C$.

5. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $CC_1$, то все три точки $A$, $A_1$, $M$ лежат в плоскости $AA_1C_1C$. Это означает, что плоскость $AA_1M$ совпадает с плоскостью диагонального сечения $AA_1C_1C$.

6. Задача сводится к нахождению линии пересечения плоскости сечения $AA_1C_1C$ и плоскости грани $DCC_1D_1$. Эти две плоскости проходят через общую прямую $CC_1$.

7. Следовательно, прямая $CC_1$ и является линией их пересечения.

Ответ: Прямая $CC_1$.