Номер 19, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 19, страница 47.

Условие.

5.19. Точка $M$ – середина ребра $DC$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.20). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ и параллельной прямым $AD$ и $BD$. Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $a$.

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Рис. 5.20

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения

Обозначим секущую плоскость как $\alpha$.

1. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AD$. Плоскость грани $ADC$ содержит прямую $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ADC$ должна быть параллельна $AD$. Проведем в плоскости $ADC$ через точку $M$ прямую, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AC$ в точке $N$. Так как $M$ — середина ребра $DC$ (по условию) и $MN \parallel AD$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно, точка $N$ — середина ребра $AC$.

2. Аналогично, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$. Плоскость грани $BDC$ содержит прямую $BD$. Проведем в плоскости $BDC$ через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $P$. Так как $M$ — середина ребра $DC$ и $MP \parallel BD$, то $MP$ является средней линией треугольника $BDC$. Следовательно, точка $P$ — середина ребра $BC$.

3. Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ принадлежит плоскости сечения $\alpha$ и плоскости основания $ABC$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNP$.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MNP$, где $N$ — середина ребра $AC$, а $P$ — середина ребра $BC$.

Вычисление площади сечения

По условию, все ребра тетраэдра равны $a$. Это означает, что тетраэдр $DABC$ является правильным, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Найдем длины сторон треугольника $MNP$:

1. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно, его длина равна половине длины стороны $AD$:
$MN = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

2. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $BDC$. Следовательно, его длина равна половине длины стороны $BD$:
$MP = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

3. Точки $N$ и $P$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $NP$ является средней линией треугольника $ABC$. Его длина равна половине длины стороны $AB$:
$NP = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Так как все стороны треугольника $MNP$ равны ($MN = MP = NP = \frac{a}{2}$), то этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим в формулу длину стороны нашего сечения $s = \frac{a}{2}$:
$S_{MNP} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.