Номер 22, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 22, страница 48.

Условие.

5.22. Точки E и F – середины соответственно рёбер AB и BC куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.23). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной прямой $DD_1$. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 5.21

Рис. 5.22

Рис. 5.23

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения куба плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной прямой $DD_1$.

Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно. Плоскость сечения проходит через эти две точки.

Условие параллельности плоскости сечения прямой $DD_1$ (которая является вертикальным ребром куба, перпендикулярным плоскости основания $ABCD$) означает, что сечение будет "вертикальным". То есть, если точка $X$ лежит в плоскости сечения и на нижней грани куба, то точка $X_1$, расположенная вертикально над $X$ на верхней грани, также будет принадлежать плоскости сечения.

1. Находим точки $E$ и $F$ как середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно.

2. Проводим из точки $E$ прямую, параллельную $DD_1$, до пересечения с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$. Эта точка пересечения $E_1$ будет серединой ребра $A_1B_1$.

3. Аналогично, проводим из точки $F$ прямую, параллельную $DD_1$, до пересечения с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$. Эта точка пересечения $F_1$ будет серединой ребра $B_1C_1$.

4. Соединяем найденные точки: $E$, $F$, $F_1$, $E_1$. Полученный четырехугольник $EFF_1E_1$ является искомым сечением.

Поскольку отрезки $EE_1$ и $FF_1$ параллельны ребру $DD_1$, они перпендикулярны плоскостям основания $ABCD$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, $EE_1 \perp EF$ и $FF_1 \perp EF$. Это означает, что сечение $EFF_1E_1$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $EFF_1E_1$, где $E_1$ — середина ребра $A_1B_1$, а $F_1$ — середина ребра $B_1C_1$.

Вычисление периметра сечения, если ребро куба равно $a$.

Сечение $EFF_1E_1$ является прямоугольником. Для вычисления его периметра необходимо найти длины двух его смежных сторон, например, $EE_1$ и $EF$.

1. Длина стороны $EE_1$.

Отрезок $EE_1$ является высотой куба, так как он параллелен ребру $DD_1$. Следовательно, его длина равна ребру куба: $EE_1 = a$.

2. Длина стороны $EF$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Рассмотрим треугольник $EBF$. Это прямоугольный треугольник, так как ребра куба перпендикулярны ($ \angle B = 90^\circ $).

Длины катетов $EB$ и $BF$ равны половине длины ребра куба: $EB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$ $BF = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$

По теореме Пифагора, длина гипотенузы $EF$: $EF = \sqrt{EB^2 + BF^2}$ $EF = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$ $EF = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}}$ $EF = \sqrt{\frac{2a^2}{4}}$ $EF = \sqrt{\frac{a^2}{2}}$ $EF = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $: $EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

3. Периметр прямоугольника $EFF_1E_1$.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P = 2 \cdot (EE_1 + EF)$ $P = 2 \cdot \left(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ $P = 2a + 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}$ $P = 2a + a\sqrt{2}$

Ответ: Периметр сечения равен $2a + a\sqrt{2}$.