Номер 24, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 24, страница 48.

Условие.

5.24. Точка $M$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$. Постройте линию пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим плоскости $AMB$ и $CMD$ как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Нам необходимо построить линию пересечения этих плоскостей.

1. Для того чтобы найти прямую, по которой пересекаются две плоскости, достаточно определить две общие для них точки или одну общую точку и направление этой прямой.

2. По определению, точка $M$ принадлежит как плоскости $AMB$, так и плоскости $CMD$. Следовательно, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и, значит, лежит на их линии пересечения.

3. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$), а прямая $CD$ лежит в плоскости $\beta$ ($CD \subset \beta$).

4. По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма известно, что его противоположные стороны параллельны. Таким образом, $AB \parallel CD$.

5. Воспользуемся теоремой из стереометрии: если две пересекающиеся плоскости содержат две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются (у них есть общая точка $M$) и содержат параллельные прямые $AB$ и $CD$ соответственно, то линия их пересечения, обозначим ее $l$, будет параллельна этим прямым. То есть, $l \parallel AB$ и $l \parallel CD$.

6. Таким образом, мы определили, что искомая линия пересечения проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AB$.

Построение:
Через точку $M$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и является искомой линией пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$ — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AB$.