Номер 26, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 26, страница 48.

Условие.

5.26. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, прямая $b$ – плоскости $\beta$, прямая $c$ – линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что если прямая $c$ не пересекает ни одну из прямых $a$ и $b$, то $a \parallel b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано:

• Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
• Прямая $b$ принадлежит плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ ($c = \alpha \cap \beta$).
• Прямая $c$ не пересекает прямую $a$ ($c \cap a = \emptyset$).
• Прямая $c$ не пересекает прямую $b$ ($c \cap b = \emptyset$).

Доказать:

$a \parallel b$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $a$ и $c$. По условию, прямая $a \subset \alpha$. Так как прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то $c \subset \alpha$. Следовательно, обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\alpha$.

По условию, прямые $a$ и $c$ не пересекаются. Согласно определению, две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, являются параллельными. Отсюда следует, что $a \parallel c$.

2. Аналогично рассмотрим прямые $b$ и $c$. По условию, прямая $b \subset \beta$. Прямая $c$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). Таким образом, обе прямые, $b$ и $c$, лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию, прямые $b$ и $c$ не пересекаются. Следовательно, $b \parallel c$.

3. Из пунктов 1 и 2 мы получили, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Согласно теореме о параллельности прямых в пространстве (свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, следует, что $a \parallel b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.