Номер 29, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 29, страница 49.

Условие.

5.29. Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$, и третья плоскость $\gamma$.

Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ как прямую $c$:
$\alpha \cap \beta = c$.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают плоскость $\gamma$ по параллельным прямым. Обозначим эти прямые как $a$ и $b$ соответственно:
$\alpha \cap \gamma = a$
$\beta \cap \gamma = b$
При этом, по условию, $a \parallel b$.

Необходимо доказать, что линия пересечения данных плоскостей, прямая $c$, параллельна третьей плоскости $\gamma$, то есть $c \parallel \gamma$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $c$ не параллельна плоскости $\gamma$.

Если прямая не параллельна плоскости, то она пересекает эту плоскость в некоторой точке. Пусть прямая $c$ пересекает плоскость $\gamma$ в точке $M$.

Так как точка $M$ лежит на прямой $c$ ($M \in c$), а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$. По нашему предположению, точка $M$ также лежит в плоскости $\gamma$ ($M \in \gamma$).

Таким образом, точка $M$ является общей точкой для трех плоскостей $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Поскольку точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\alpha$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $a$. Следовательно, $M \in a$.

Аналогично, поскольку точка $M$ принадлежит одновременно плоскостям $\beta$ и $\gamma$, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Следовательно, $M \in b$.

Из этого следует, что прямые $a$ и $b$ имеют общую точку $M$, то есть они пересекаются. Однако это противоречит условию задачи, согласно которому прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, прямая $c$ не может пересекать плоскость $\gamma$.

По определению, если прямая не имеет общих точек с плоскостью, то она параллельна этой плоскости. Значит, $c \parallel \gamma$.

Ответ: Что и требовалось доказать.