Номер 30, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 30, страница 49.

Условие.

5.30. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB, CD$ и $AA_1$. Найдите периметр сечения, если $AB = 10$ см, $AD = 17$ см, $AA_1 = 24$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения

1. Обозначим точки, через которые проходит плоскость сечения: $K$ - середина ребра $AB$, $L$ - середина ребра $CD$, и $M$ - середина ребра $AA_1$.

2. Точки $K$ и $L$ лежат в одной плоскости (нижнее основание $ABCD$). Соединяем их отрезком $KL$, который является одной из сторон сечения.

3. Точки $K$ и $M$ лежат в одной плоскости (передняя грань $ABB_1A_1$). Соединяем их отрезком $KM$, который является второй стороной сечения.

4. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, а секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Грань $ABB_1A_1$ параллельна грани $DCC_1D_1$. Следовательно, в плоскости задней грани $DCC_1D_1$ через точку $L$ проводим прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $N$. Отрезок $LN$ - третья сторона сечения. Поскольку $K$, $M$ и $L$ являются серединами своих рёбер, то из соображений симметрии точка $N$ также будет серединой ребра $DD_1$.

5. Соединяем точки $N$ и $M$. Обе точки лежат в плоскости левой грани $ADD_1A_1$, поэтому отрезок $NM$ является четвертой, замыкающей стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение - это четырёхугольник $KLNM$. Так как $KM \parallel LN$ (по построению), и $KL \parallel NM$ (оба отрезка соединяют середины рёбер в противолежащих гранях и параллельны ребру $AD$), то сечение $KLNM$ является параллелограммом.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $KLNM$ вычисляется по формуле $P = 2(KL + KM)$. Найдем длины его смежных сторон $KL$ и $KM$.

Сторона $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $CD$ в прямоугольнике $ABCD$. Следовательно, ее длина равна длине стороны $AD$.
$KL = AD = 17$ см.

Сторону $KM$ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника $AMK$ (в грани $ABB_1A_1$ угол $\angle MAK = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны половинам длин соответствующих рёбер:
$AK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
$AM = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.
По теореме Пифагора:
$KM = \sqrt{AK^2 + AM^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вычислим периметр сечения:
$P = 2(KL + KM) = 2(17 + 13) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.