Номер 37, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 37, страница 49.

Условие.

5.37. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки $D$ и $M$ параллельно прямой $AC_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения искомого сечения $\alpha$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся следующей последовательностью шагов, основанных на свойствах параллельных прямых и плоскостей.

1. Точка $M$ по условию является серединой ребра $CC_1$. Ребро $CC_1$ принадлежит плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$. Следовательно, точка $M$ также принадлежит плоскости $ACC_1A_1$.
2. По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC_1$. Прямая $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Поскольку точка $M$ принадлежит обеим плоскостям (и секущей $\alpha$, и плоскости $ACC_1A_1$), линия их пересечения, назовем ее $k$, будет проходить через точку $M$. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($AC_1$), то любая другая плоскость ($ACC_1A_1$), содержащая эту прямую, пересекает плоскость $\alpha$ по прямой ($k$), параллельной данной прямой ($AC_1$). Таким образом, $k \parallel AC_1$.
3. Построим в плоскости $ACC_1A_1$ прямую $k$, проходящую через точку $M$ параллельно $AC_1$. Рассмотрим прямоугольник $ACC_1A_1$. Так как $M$ является серединой стороны $CC_1$, то по теореме Фалеса прямая $k$ пересечёт диагональ $AC$ в её середине. Обозначим эту точку пересечения как $O$. Точка $O$ является центром нижней грани куба $ABCD$. Поскольку прямая $k$ лежит в секущей плоскости $\alpha$, то и точка $O$ принадлежит плоскости $\alpha$.
4. Теперь в плоскости основания $ABCD$ у нас есть две точки, принадлежащие сечению: точка $D$ (по условию) и точка $O$ (по построению). Прямая, проходящая через эти точки, является следом секущей плоскости $\alpha$ на плоскости $ABCD$. Прямая, проходящая через вершину квадрата $D$ и его центр $O$, является диагональю этого квадрата — прямой $DB$. Таким образом, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$ — это отрезок $DB$. Точки $D$ и $B$ являются вершинами искомого сечения.
5. Мы определили три вершины сечения: $D$, $B$ и $M$. Соединим их отрезками, если они лежат в одной грани:
   • Точки $D$ и $M$ лежат в грани $DCC_1D_1$, поэтому отрезок $DM$ — сторона сечения.
   • Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BCC_1B_1$, поэтому отрезок $BM$ — сторона сечения.
   • Точки $D$ и $B$ лежат в грани $ABCD$, поэтому отрезок $DB$ — сторона сечения.
6. Полученный многоугольник — треугольник $DMB$. Все его стороны ($DM$, $MB$ и $DB$) лежат на гранях куба, следовательно, треугольник $DMB$ является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $DMB$.