Номер 39, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 39, страница 50.

Условие.

5.39. Основанием пирамиды SABCDE является пятиугольник ABCDE. На рёбрах SE и SD отметили соответственно точки M и N (рис. 5.27). Известно, что $SM/SE = SN/SD$. Постройте сечение пирамиды плоскостью BMN.

Рис. 5.26

Рис. 5.27

Решение 1.

Решение 3.

Для построения сечения пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точки B, M и N, необходимо выполнить следующие рассуждения и построения.

Анализ условия и установление параллельности
Рассмотрим треугольник SDE. По условию, на его сторонах SE и SD лежат точки M и N соответственно, причем выполняется соотношение $ \frac{SM}{SE} = \frac{SN}{SD} $. Это означает, что точки M и N делят боковые ребра SE и SD в одинаковом отношении, считая от вершины S. Согласно обратной теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), прямая, соединяющая точки M и N, параллельна основанию DE этого треугольника. Таким образом, $MN \parallel DE$.

Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания
Прямая DE принадлежит плоскости основания пирамиды (ABCDE). Поскольку прямая MN, лежащая в секущей плоскости (BMN), параллельна прямой DE, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая MN параллельна плоскости основания (ABCDE).
Секущая плоскость (BMN) проходит через прямую MN, параллельную плоскости основания, и пересекает плоскость основания. Следовательно, линия их пересечения должна быть параллельна прямой MN, а значит и прямой DE.
Точка B принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости основания, значит, она лежит на линии их пересечения. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания – это прямая, проходящая через точку B параллельно DE.

Построение сечения
1. В плоскости основания (ABCDE) проведем прямую через точку B параллельно ребру DE. Эта прямая пересечет ребро AE в некоторой точке. Обозначим эту точку K. Точка K является еще одной вершиной сечения.
2. Соединим последовательно вершины сечения B, K, M и N.
- Отрезок BK является стороной сечения и лежит в плоскости основания.
- Отрезок KM является стороной сечения и лежит в плоскости боковой грани SAE (так как K ∈ AE, а M ∈ SE).
- Отрезок MN является стороной сечения и лежит в плоскости боковой грани SDE.
- Отрезок NB замыкает многоугольник сечения.
В результате получаем четырехугольник BKMN, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник BKMN, где K – точка пересечения ребра AE с прямой, проходящей через точку B в плоскости основания параллельно ребру DE.