Номер 21, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 21, страница 48.

Условие.

5.21. Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.22). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M$ и $C_1$ и параллельной прямой $AB$.

Рис. 5.22

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $C_1$ и параллельна прямой $AB$.

Построение сечения осуществляется в несколько шагов:

1. Рассмотрим грань $AA_1B_1B$. Плоскость этой грани содержит прямую $AB$. Секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна прямой $AB$. Точка $M$ принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $AA_1B_1B$. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($M$), не лежащую на данной прямой ($AB$), и параллельна этой прямой, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью, содержащей точку $M$ и прямую $AB$ (в данном случае это плоскость $AA_1B_1B$), будет прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной прямой $AB$.
   Следовательно, в плоскости грани $AA_1B_1B$ проведем прямую через точку $M$ параллельно $AB$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке, которую мы назовем $K$. Отрезок $MK$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1B_1B$. Таким образом, по построению $MK \parallel AB$.
2. Теперь мы знаем три точки, принадлежащие секущей плоскости: $M$, $K$ и $C_1$. Соединим их отрезками для нахождения остальных сторон сечения.
3. Точки $M$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$ (так как $M \in AA_1$ и $C_1$ является вершиной этой грани). Следовательно, отрезок $MC_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1C_1C$.
4. Аналогично, точки $K$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$ (так как $K \in BB_1$ и $C_1$ является вершиной этой грани). Следовательно, отрезок $KC_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BB_1C_1C$.

В результате построения мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $MKC_1$, вершины которого лежат на ребрах призмы (или являются ее вершинами), а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

Проверим, удовлетворяет ли плоскость треугольника $MKC_1$ условиям задачи:

• Она проходит через точку $M$ по построению.
• Она проходит через точку $C_1$ по построению.
• Она параллельна прямой $AB$, так как содержит прямую $MK$, которая по построению параллельна $AB$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Все условия выполнены, следовательно, треугольник $MKC_1$ — искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MKC_1$, где точка $K$ является точкой пересечения прямой, проведенной через точку $M$ параллельно $AB$, с ребром $BB_1$.