Номер 14, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 14, страница 47.

Условие.

5.14. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение $AE : EC$, если $CF : CB = 8 : 11$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$, она пересекает плоскость треугольника по прямой $EF$, параллельной стороне $AB$. Таким образом, $EF \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle EFC$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle C$ у этих треугольников общий. Угол $\angle CFE$ равен углу $\angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $\triangle EFC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам. Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи дано отношение $CF : CB = 9 : 11$, то есть $\frac{CF}{CB} = \frac{9}{11}$.

Из пропорциональности сторон подобных треугольников следует, что:

$\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{9}{11}$

Сторона $CA$ представляет собой сумму отрезков $AE$ и $EC$, то есть $CA = AE + EC$. Подставим это выражение в пропорцию:

$\frac{EC}{AE + EC} = \frac{9}{11}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$11 \cdot EC = 9 \cdot (AE + EC)$

$11 \cdot EC = 9 \cdot AE + 9 \cdot EC$

Перенесем слагаемые, содержащие $EC$, в одну часть уравнения:

$11 \cdot EC - 9 \cdot EC = 9 \cdot AE$

$2 \cdot EC = 9 \cdot AE$

Из этого равенства найдем искомое отношение $AE : EC$. Для этого разделим обе части равенства на $EC$ и на $9$:

$\frac{AE}{EC} = \frac{2}{9}$

Таким образом, $AE : EC = 2 : 9$.

Ответ: $2:9$